Интеграл x*(1-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  x*(1 - x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 1\right)^{2} = x^{3} - 2 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 x^{2}\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           2          
 |  x*(1 - x)  dx = 1/12
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{12}}$$

Численный ответ

0.0833333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                      2      3    4
 |          2          x    2*x    x 
 | x*(1 - x)  dx = C + -- - ---- + --
 |                     2     3     4 
/                                    

$${{3\,x^4-8\,x^3+6\,x^2}\over{12}}$$