Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x*(1-x)^5 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  x*(1 - x)  dx
 |               
/                
0
    ∫01x(−x+1)5 dx\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{5}\, dx
    Подробное решение

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x(−x+1)5=−x6+5x5−10x4+10x3−5x2+xx \left(- x + 1\right)^{5} = - x^{6} + 5 x^{5} - 10 x^{4} + 10 x^{3} - 5 x^{2} + x

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−x6 dx=−∫x6 dx\int - x^{6}\, dx = - \int x^{6}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x6 dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

        Таким образом, результат будет: −x77- \frac{x^{7}}{7}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫5x5 dx=5∫x5 dx\int 5 x^{5}\, dx = 5 \int x^{5}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x5 dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

        Таким образом, результат будет: 5x66\frac{5 x^{6}}{6}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−10x4 dx=−10∫x4 dx\int - 10 x^{4}\, dx = - 10 \int x^{4}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

        Таким образом, результат будет: −2x5- 2 x^{5}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫10x3 dx=10∫x3 dx\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Таким образом, результат будет: 5x42\frac{5 x^{4}}{2}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫−5x2 dx=−5∫x2 dx\int - 5 x^{2}\, dx = - 5 \int x^{2}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Таким образом, результат будет: −5x33- \frac{5 x^{3}}{3}

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Результат есть: −x77+5x66−2x5+5x42−5x33+x22- \frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{6} - 2 x^{5} + \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

    3. Теперь упростить:

      x242(−6x5+35x4−84x3+105x2−70x+21)\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x242(−6x5+35x4−84x3+105x2−70x+21)+constant\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    x242(−6x5+35x4−84x3+105x2−70x+21)+constant\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
    Ответ [src]
      1                     
  /                     
 |                      
 |           5          
 |  x*(1 - x)  dx = 1/42
 |                      
/                       
0
    142{{1}\over{42}}
    Численный ответ [src]
    0.0238095238095238
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                       
 |                      2             3    7      4      6
 |          5          x       5   5*x    x    5*x    5*x 
 | x*(1 - x)  dx = C + -- - 2*x  - ---- - -- + ---- + ----
 |                     2            3     7     2      6  
/
    −6 x7−35 x6+84 x5−105 x4+70 x3−21 x242-{{6\,x^7-35\,x^6+84\,x^5-105\,x^4+70\,x^3-21\,x^2}\over{42}}
    Упростить