Интеграл x*(1-x)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  x*(1 - x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 1\right)^{5} = - x^{6} + 5 x^{5} - 10 x^{4} + 10 x^{3} - 5 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x^{6}\, dx = - \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 x^{5}\, dx = 5 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{6}}{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 10 x^{4}\, dx = - 10 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{4}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 5 x^{2}\, dx = - 5 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $- \frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{6} - 2 x^{5} + \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{42} \left(- 6 x^{5} + 35 x^{4} - 84 x^{3} + 105 x^{2} - 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           5          
 |  x*(1 - x)  dx = 1/42
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{42}}$$

Численный ответ

0.0238095238095238

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                      2             3    7      4      6
 |          5          x       5   5*x    x    5*x    5*x 
 | x*(1 - x)  dx = C + -- - 2*x  - ---- - -- + ---- + ----
 |                     2            3     7     2      6  
/                                                         

$$-{{6\,x^7-35\,x^6+84\,x^5-105\,x^4+70\,x^3-21\,x^2}\over{42}}$$