Интеграл x*(1+x)^10 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  x*(1 + x)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \left(x + 1\right)^{10}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x + 1\right)^{10} = x^{11} + 10 x^{10} + 45 x^{9} + 120 x^{8} + 210 x^{7} + 252 x^{6} + 210 x^{5} + 120 x^{4} + 45 x^{3} + 10 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{10}\, dx = 10 \int x^{10}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{11}}{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{9}\, dx = 45 \int x^{9}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{10}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 x^{8}\, dx = 120 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{40 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{7}\, dx = 210 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{105 x^{8}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 252 x^{6}\, dx = 252 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $36 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 210 x^{5}\, dx = 210 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $35 x^{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 120 x^{4}\, dx = 120 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $24 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 45 x^{3}\, dx = 45 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{2}\, dx = 10 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{10 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{12}}{12} + \frac{10 x^{11}}{11} + \frac{9 x^{10}}{2} + \frac{40 x^{9}}{3} + \frac{105 x^{8}}{4} + 36 x^{7} + 35 x^{6} + 24 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{4} + \frac{10 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{132} \left(11 x^{10} + 120 x^{9} + 594 x^{8} + 1760 x^{7} + 3465 x^{6} + 4752 x^{5} + 4620 x^{4} + 3168 x^{3} + 1485 x^{2} + 440 x + 66\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           10      6827
 |  x*(1 + x)   dx = ----
 |                    44 
/                        
0                        

$${{6827}\over{44}}$$

Численный ответ

155.159090909091

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                       
 |                       2                            12      10       3       11       9       4        8
 |          10          x        5       6       7   x     9*x     10*x    10*x     40*x    45*x    105*x 
 | x*(1 + x)   dx = C + -- + 24*x  + 35*x  + 36*x  + --- + ----- + ----- + ------ + ----- + ----- + ------
 |                      2                             12     2       3       11       3       4       4   
/                                                                                                         

$${{11\,x^{12}+120\,x^{11}+594\,x^{10}+1760\,x^9+3465\,x^8+4752\,x^7+ 4620\,x^6+3168\,x^5+1485\,x^4+440\,x^3+66\,x^2}\over{132}}$$