Интеграл x*sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  x*sin(2*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \sin{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                    cos(2)   sin(2)
 |  x*sin(2*x) dx = - ------ + ------
 |                      2        4   
/                                    
0                                    

$${{\sin 2-2\,\cos 2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.435397774979992

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                     sin(2*x)   x*cos(2*x)
 | x*sin(2*x) dx = C + -------- - ----------
 |                        4           2     
/                                           

$${{\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x\right)}\over{4}}$$