Используем интегрирование по частям:
∫udv=uv−∫vdu
пусть u(x)=x и пусть dv(x)=sin(5x) dx.
Затем du(x)=1 dx.
Чтобы найти v(x):
пусть u=5x.
Тогда пусть du=5dx и подставим 5du:
∫sin(u)du
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫sin(u)du=51∫sin(u)du
Интеграл от синуса есть минус косинус:
∫sin(u)du=−cos(u)
Таким образом, результат будет: −51cos(u)
Если сейчас заменить u ещё в:
−51cos(5x)
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫−51cos(5x)dx=−51∫cos(5x)dx
пусть u=5x.
Тогда пусть du=5dx и подставим 5du:
∫cos(u)du
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫cos(u)du=51∫cos(u)du
Интеграл от косинуса есть синус:
∫cos(u)du=sin(u)
Таким образом, результат будет: 51sin(u)
Если сейчас заменить u ещё в:
51sin(5x)
Таким образом, результат будет: −251sin(5x)
Добавляем постоянную интегрирования:
−5xcos(5x)+251sin(5x)+constant