Интеграл x*sin(5*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |  x*sin(5*x) dx
     |               
    /                
    0                
    01xsin(5x)dx\int_{0}^{1} x \sin{\left (5 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=xu{\left (x \right )} = x и пусть dv(x)=sin(5x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (5 x \right )} dx.

      Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. пусть u=5xu = 5 x.

        Тогда пусть du=5dxdu = 5 dx и подставим du5\frac{du}{5}:

        sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          sin(u)du=15sin(u)du\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \sin{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: 15cos(u)- \frac{1}{5} \cos{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        15cos(5x)- \frac{1}{5} \cos{\left (5 x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      15cos(5x)dx=15cos(5x)dx\int - \frac{1}{5} \cos{\left (5 x \right )}\, dx = - \frac{1}{5} \int \cos{\left (5 x \right )}\, dx

      1. пусть u=5xu = 5 x.

        Тогда пусть du=5dxdu = 5 dx и подставим du5\frac{du}{5}:

        cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          cos(u)du=15cos(u)du\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: 15sin(u)\frac{1}{5} \sin{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        15sin(5x)\frac{1}{5} \sin{\left (5 x \right )}

      Таким образом, результат будет: 125sin(5x)- \frac{1}{25} \sin{\left (5 x \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x5cos(5x)+125sin(5x)+constant- \frac{x}{5} \cos{\left (5 x \right )} + \frac{1}{25} \sin{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x5cos(5x)+125sin(5x)+constant- \frac{x}{5} \cos{\left (5 x \right )} + \frac{1}{25} \sin{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1                                  
      /                                  
     |                    cos(5)   sin(5)
     |  x*sin(5*x) dx = - ------ + ------
     |                      5        25  
    /                                    
    0                                    
    sin55cos525{{\sin 5-5\,\cos 5}\over{25}}
    Численный ответ [src]
    -0.0950894080791708
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                         
     |                     sin(5*x)   x*cos(5*x)
     | x*sin(5*x) dx = C + -------- - ----------
     |                        25          5     
    /                                           
    sin(5x)5xcos(5x)25{{\sin \left(5\,x\right)-5\,x\,\cos \left(5\,x\right)}\over{25}}