Интеграл x*sin(x+y) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*sin(x + y) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x \sin{\left (x + y \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x + y \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = x + y$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \cos{\left (x + y \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \cos{\left (x + y \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x + y \right )}\, dx$

   1. пусть $u = x + y$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sin{\left (x + y \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x + y \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x \cos{\left (x + y \right )} + \sin{\left (x + y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x \cos{\left (x + y \right )} + \sin{\left (x + y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                    
  /                                                    
 |                                                     
 |  x*sin(x + y) dx = -cos(1 + y) - sin(y) + sin(1 + y)
 |                                                     
/                                                      
0                                                      

$$\sin \left(y+1\right)-\cos \left(y+1\right)-\sin y$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | x*sin(x + y) dx = C - x*cos(x + y) + sin(x + y)
 |                                                
/                                                 

$$\sin \left(y+x\right)-\left(y+x\right)\,\cos \left(y+x\right)+y\, \cos \left(y+x\right)$$