Интеграл x*(3-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  x*(3 - x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x + 3\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(- x + 3\right)^{2} = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 6 x^{2}\, dx = - 6 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 9 x\, dx = 9 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{9 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(x^{2} - 8 x + 18\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(x^{2} - 8 x + 18\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(x^{2} - 8 x + 18\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           2          
 |  x*(3 - x)  dx = 11/4
 |                      
/                       
0                       

$${{11}\over{4}}$$

Численный ответ

2.75

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                             4      2
 |          2             3   x    9*x 
 | x*(3 - x)  dx = C - 2*x  + -- + ----
 |                            4     2  
/                                      

$${{x^4-8\,x^3+18\,x^2}\over{4}}$$