Интеграл x*(x-1)^12 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           12   
 |  x*(x - 1)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} x \left(x - 1\right)^{12}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x - 1\right)^{12} = x^{13} - 12 x^{12} + 66 x^{11} - 220 x^{10} + 495 x^{9} - 792 x^{8} + 924 x^{7} - 792 x^{6} + 495 x^{5} - 220 x^{4} + 66 x^{3} - 12 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 12 x^{12}\right)\, dx = - 12 \int x^{12}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{12 x^{13}}{13}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 66 x^{11}\, dx = 66 \int x^{11}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{11 x^{12}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 220 x^{10}\right)\, dx = - 220 \int x^{10}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Таким образом, результат будет: $- 20 x^{11}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 495 x^{9}\, dx = 495 \int x^{9}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{99 x^{10}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 792 x^{8}\right)\, dx = - 792 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $- 88 x^{9}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 924 x^{7}\, dx = 924 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{231 x^{8}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 792 x^{6}\right)\, dx = - 792 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{792 x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 495 x^{5}\, dx = 495 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{165 x^{6}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 220 x^{4}\right)\, dx = - 220 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- 44 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 66 x^{3}\, dx = 66 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{33 x^{4}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 12 x^{2}\right)\, dx = - 12 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- 4 x^{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{14}}{14} - \frac{12 x^{13}}{13} + \frac{11 x^{12}}{2} - 20 x^{11} + \frac{99 x^{10}}{2} - 88 x^{9} + \frac{231 x^{8}}{2} - \frac{792 x^{7}}{7} + \frac{165 x^{6}}{2} - 44 x^{5} + \frac{33 x^{4}}{2} - 4 x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(13 x^{12} - 168 x^{11} + 1001 x^{10} - 3640 x^{9} + 9009 x^{8} - 16016 x^{7} + 21021 x^{6} - 20592 x^{5} + 15015 x^{4} - 8008 x^{3} + 3003 x^{2} - 728 x + 91\right)}{182}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(13 x^{12} - 168 x^{11} + 1001 x^{10} - 3640 x^{9} + 9009 x^{8} - 16016 x^{7} + 21021 x^{6} - 20592 x^{5} + 15015 x^{4} - 8008 x^{3} + 3003 x^{2} - 728 x + 91\right)}{182}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(13 x^{12} - 168 x^{11} + 1001 x^{10} - 3640 x^{9} + 9009 x^{8} - 16016 x^{7} + 21021 x^{6} - 20592 x^{5} + 15015 x^{4} - 8008 x^{3} + 3003 x^{2} - 728 x + 91\right)}{182}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1/182

$$\frac{1}{182}$$

=

=

1/182

$$\frac{1}{182}$$

Численный ответ

0.00549450549450549

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                           
 |                       2                                        7       13    14       12       4       10        6        8
 |          12          x        9       5       11      3   792*x    12*x     x     11*x     33*x    99*x     165*x    231*x 
 | x*(x - 1)   dx = C + -- - 88*x  - 44*x  - 20*x   - 4*x  - ------ - ------ + --- + ------ + ----- + ------ + ------ + ------
 |                      2                                      7        13      14     2        2       2        2        2   
/                                                                                                                             

$$\int x \left(x - 1\right)^{12}\, dx = C + \frac{x^{14}}{14} - \frac{12 x^{13}}{13} + \frac{11 x^{12}}{2} - 20 x^{11} + \frac{99 x^{10}}{2} - 88 x^{9} + \frac{231 x^{8}}{2} - \frac{792 x^{7}}{7} + \frac{165 x^{6}}{2} - 44 x^{5} + \frac{33 x^{4}}{2} - 4 x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$$

График