Интеграл x*(x-1)^3 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           3   
 |  x*(x - 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(x - 1\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x - 1\right)^{3} = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 x^{3}\, dx = - 3 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{20} \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{20} \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{20} \left(4 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x - 10\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           3           
 |  x*(x - 1)  dx = -1/20
 |                       
/                        
0                        

$$-{{1}\over{20}}$$

Численный ответ

-0.05

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                             4    2    5
 |          3           3   3*x    x    x 
 | x*(x - 1)  dx = C + x  - ---- - -- + --
 |                           4     2    5 
/                                         

$${{4\,x^5-15\,x^4+20\,x^3-10\,x^2}\over{20}}$$