Интеграл x*(x+2)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      x(x+2)2=x3+4x2+4xx \left(x + 2\right)^{2} = x^{3} + 4 x^{2} + 4 x

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

        x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        4x2dx=4x2dx\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Таким образом, результат будет: 4x33\frac{4 x^{3}}{3}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        4xdx=4xdx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Таким образом, результат будет: 2x22 x^{2}

      Результат есть: x44+4x33+2x2\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2}

    3. Теперь упростить:

      x212(3x2+16x+24)\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} + 16 x + 24\right)

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      x212(3x2+16x+24)+constant\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} + 16 x + 24\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x212(3x2+16x+24)+constant\frac{x^{2}}{12} \left(3 x^{2} + 16 x + 24\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-50005000
    Ответ [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |           2      43
     |  x*(x + 2)  dx = --
     |                  12
    /                     
    0                     
    4312{{43}\over{12}}
    Численный ответ [src]
    3.58333333333333
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                    
     |                             4      3
     |          2             2   x    4*x 
     | x*(x + 2)  dx = C + 2*x  + -- + ----
     |                            4     3  
    /                                      
    3x4+16x3+24x212{{3\,x^4+16\,x^3+24\,x^2}\over{12}}