Интеграл x*(x+1)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  x*(x + 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(x + 1\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x + 1\right)^{5} = x^{6} + 5 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{3} + 5 x^{2} + x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 x^{5}\, dx = 5 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{6}}{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{4}\, dx = 10 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $2 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{4}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{6} + 2 x^{5} + \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{42} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{42} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{42} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |           5      107
 |  x*(x + 1)  dx = ---
 |                   14
/                      
0                      

$${{107}\over{14}}$$

Численный ответ

7.64285714285714

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                      2           7      4      3      6
 |          5          x       5   x    5*x    5*x    5*x 
 | x*(x + 1)  dx = C + -- + 2*x  + -- + ---- + ---- + ----
 |                     2           7     2      3      6  
/                                                         

$${{6\,x^7+35\,x^6+84\,x^5+105\,x^4+70\,x^3+21\,x^2}\over{42}}$$