Интеграл x*(x+3)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  x*(x + 3)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(x + 3\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x + 3\right)^{5} = x^{6} + 15 x^{5} + 90 x^{4} + 270 x^{3} + 405 x^{2} + 243 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 15 x^{5}\, dx = 15 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{5 x^{6}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 90 x^{4}\, dx = 90 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $18 x^{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 270 x^{3}\, dx = 270 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{135 x^{4}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 405 x^{2}\, dx = 405 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $135 x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 243 x\, dx = 243 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{243 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{2} + 18 x^{5} + \frac{135 x^{4}}{2} + 135 x^{3} + \frac{243 x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{14} \left(2 x^{5} + 35 x^{4} + 252 x^{3} + 945 x^{2} + 1890 x + 1701\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{14} \left(2 x^{5} + 35 x^{4} + 252 x^{3} + 945 x^{2} + 1890 x + 1701\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{14} \left(2 x^{5} + 35 x^{4} + 252 x^{3} + 945 x^{2} + 1890 x + 1701\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           5      4825
 |  x*(x + 3)  dx = ----
 |                   14 
/                       
0                       

$${{4825}\over{14}}$$

Численный ответ

344.642857142857

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                       7      6        4        2
 |          5              5        3   x    5*x    135*x    243*x 
 | x*(x + 3)  dx = C + 18*x  + 135*x  + -- + ---- + ------ + ------
 |                                      7     2       2        2   
/                                                                  

$${{2\,x^7+35\,x^6+252\,x^5+945\,x^4+1890\,x^3+1701\,x^2}\over{14}}$$