Интеграл x^4/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     4    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{4}}{x + 1} = x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x^{2}\, dx = - \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -1\, dx = - x$

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |     4                     
 |    x                      
 |  ----- dx = -7/12 + log(2)
 |  x + 1                    
 |                           
/                            
0                            

$${{12\,\log 2-7}\over{12}}$$

Численный ответ

0.109813847226612

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                                             
 |    4            2        3    4             
 |   x            x        x    x              
 | ----- dx = C + -- - x - -- + -- + log(1 + x)
 | x + 1          2        3    4              
 |                                             
/                                              

$$\int \frac{x^{4}}{x + 1}\, dx = C + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$$