Интеграл x^2/exp(x) (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |   2   
 |  x    
 |  -- dx
 |   x   
 |  e    
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{e^{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{e^{x}} = x^{2} e^{- x}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2} e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2 u$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = 2 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 2$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $2 e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = - 2 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -2$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 e^{- x}\, dx = 2 \int e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 e^{- x}$

3. Теперь упростить:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |   2               
 |  x              -1
 |  -- dx = 2 - 5*e  
 |   x               
 |  e                
 |                   
/                    
0                    

$$2-5\,e^ {- 1 }$$

Численный ответ

0.160602794142788

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |  2                                  
 | x              -x    2  -x        -x
 | -- dx = C - 2*e   - x *e   - 2*x*e  
 |  x                                  
 | e                                   
 |                                     
/                                      

$$\left(-x^2-2\,x-2\right)\,e^ {- x }$$