Интеграл x^2/(x+2) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 2   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -2\, dx = - 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x + 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left (x + 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     2                                 
 |    x                                  
 |  ----- dx = -3/2 - 4*log(2) + 4*log(3)
 |  x + 2                                
 |                                       
/                                        
0                                        

$${{8\,\log 3-3}\over{2}}-4\,\log 2$$

Численный ответ

0.121860432432658

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |    2            2                     
 |   x            x                      
 | ----- dx = C + -- - 2*x + 4*log(2 + x)
 | x + 2          2                      
 |                                       
/                                        

$$4\,\log \left(x+2\right)+{{x^2-4\,x}\over{2}}$$