Интеграл (x^2-4)/x (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 4\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 4\right)\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(u - 4\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 4\right) = 1 - \frac{4}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{4}{u}\, du = - 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - 4 \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} - 2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left (x^{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(x^{2} - 4\right) = x - \frac{4}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4}{x}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 4 \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left (x^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - 2 \log{\left (x^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x  - 4         
 |  ------ dx = -oo
 |    x            
 |                 
/                  
0                  

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-175.861784535972

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 |  2               2            
 | x  - 4          x         / 2\
 | ------ dx = C + -- - 2*log\x /
 |   x             2             
 |                               
/                                

$${{x^2}\over{2}}-4\,\log x$$