Интеграл (x^2+5)/x (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  + 5   
 |  ------ dx
 |    x      
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(x^{2} + 5\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u + 5\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u + 5\right)\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(u + 5\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u + 5\right) = 1 + \frac{5}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{5}{u}\, du = 5 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $5 \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u + 5 \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} + \frac{5}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2} \log{\left (x^{2} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(x^{2} + 5\right) = x + \frac{5}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5}{x}\, dx = 5 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 5 \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2} \log{\left (x^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{2} \log{\left (x^{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x  + 5        
 |  ------ dx = oo
 |    x           
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

220.952230669964

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 |  2               2        / 2\
 | x  + 5          x    5*log\x /
 | ------ dx = C + -- + ---------
 |   x             2        2    
 |                               
/                                

$$5\,\log x+{{x^2}\over{2}}$$