Интеграл (x^2+3)/x (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   2       
 |  x  + 3   
 |  ------ dx
 |    x      
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} + 3}{x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u + 3}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u + 3}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{u + 3}{u}\, du}{2}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u + 3}{u} = 1 + \frac{3}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(u \right)}$

            Результат есть: $u + 3 \log{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} + \frac{3 \log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 \log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 3}{x} = x + \frac{3}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 \log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 \log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

oo

$$\infty$$

=

=

oo

$$\infty$$

Численный ответ

132.771338401979

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 |  2               2        / 2\
 | x  + 3          x    3*log\x /
 | ------ dx = C + -- + ---------
 |   x             2        2    
 |                               
/                                

$$\int \frac{x^{2} + 3}{x}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 \log{\left(x^{2} \right)}}{2}$$