Интеграл x^2*acos(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   2           
 |  x *acos(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x^{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{x^{3}}{3 \sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**3/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \begin{cases} \frac{1}{3} \left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{- x^{2} + 1} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{9} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{9} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} \operatorname{acos}{\left (x \right )} - \frac{1}{9} \sqrt{- x^{2} + 1} \left(x^{2} + 2\right) & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |   2                 
 |  x *acos(x) dx = 2/9
 |                     
/                      
0                      

$${{2}\over{9}}$$

Численный ответ

0.222222222222222

Ответ (Неопределённый)

                       /                        3/2                                     
                       |     ________   /     2\                                        
  /                    <    /      2    \1 - x /                                        
 |                     |- \/  1 - x   + -----------  for And(x > -1, x < 1)    3        
 |  2                  \                     3                                x *acos(x)
 | x *acos(x) dx = C + ---------------------------------------------------- + ----------
 |                                              3                                 3     
/                                                                                       

$${{x^3\,\arccos x}\over{3}}+{{-{{x^2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}-{{2\, \sqrt{1-x^2}}\over{3}}}\over{3}}$$