Интеграл x^2*atan(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   2           
 |  x *atan(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x^{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{3}}{3 x^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x^{2} + 1$.

            Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                                   
 |   2                1   log(2)   pi
 |  x *atan(x) dx = - - + ------ + --
 |                    6     6      12
/                                    
0                                    

$${{\log 2}\over{6}}+{{\pi}\over{12}}-{{1}\over{6}}$$

Численный ответ

0.210657251225807

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                      2      /     2\    3        
 |  2                  x    log\1 + x /   x *atan(x)
 | x *atan(x) dx = C - -- + ----------- + ----------
 |                     6         6            3     
/                                                   

$${{x^3\,\arctan x}\over{3}}-{{{{x^2}\over{2}}-{{\log \left(x^2+1 \right)}\over{2}}}\over{3}}$$