Интеграл x^2*(1-x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   2           
 |  x *(1 - x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x^{2} \left(- x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int - u^{3} - u^{2}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Результат есть: $- \frac{u^{4}}{4} - \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x^{2} \left(- x + 1\right) = - x^{3} + x^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{3}\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3}}{12} \left(- 3 x + 4\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{12} \left(- 3 x + 4\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{12} \left(- 3 x + 4\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   2                  
 |  x *(1 - x) dx = 1/12
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{12}}$$

Численный ответ

0.0833333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                      4    3
 |  2                  x    x 
 | x *(1 - x) dx = C - -- + --
 |                     4    3 
/                             

$$-{{3\,x^4-4\,x^3}\over{12}}$$