Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x^2*(sin(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
  /             
 |              
 |   2          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0
    ∫01x2sin⁡(x) dx\int_{0}^{1} x^{2} \sin{\left (x \right )}\, dx
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=x2u{\left (x \right )} = x^{2} и пусть dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=−2xu{\left (x \right )} = - 2 x и пусть dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} dx.

      Затем du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left (x \right )} = -2 dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫−2sin⁡(x) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int - 2 \sin{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \sin{\left (x \right )}\, dx

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}

      Таким образом, результат будет: 2cos⁡(x)2 \cos{\left (x \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left (x \right )} + 2 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+constant- x^{2} \cos{\left (x \right )} + 2 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Ответ [src]
      1                                      
  /                                      
 |                                       
 |   2                                   
 |  x *sin(x) dx = -2 + 2*sin(1) + cos(1)
 |                                       
/                                        
0
    2 sin⁡1+cos⁡1−22\,\sin 1+\cos 1-2
    Численный ответ [src]
    0.223244275483933
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                    
 |                                                     
 |  2                             2                    
 | x *sin(x) dx = C + 2*cos(x) - x *cos(x) + 2*x*sin(x)
 |                                                     
/
    2 x sin⁡x+(2−x2) cos⁡x2\,x\,\sin x+\left(2-x^2\right)\,\cos x
    Упростить