Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл x^n-1 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Виды выражений

    сумма ряда x^n-1

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
  /            
 |             
 |  / n    \   
 |  \x  - 1/ dx
 |             
/              
0
    ∫01(xn−1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{n} - 1\right)\, dx
    Подробное решение

    1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n≠−1n \neq -1:

        ∫xn dx={xn+1n+1for n≠−1log⁡(x)otherwестьe\int x^{n}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        ∫((−1)1) dx=−x\int \left(\left(-1\right) 1\right)\, dx = - x

      Результат есть: −x+{xn+1n+1for n≠−1log⁡(x)otherwестьe- x + \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}

    2. Теперь упростить:

      {x(−n+xn−1)n+1for n>−1∨n<−1−x+log⁡(x)otherwестьe\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      {x(−n+xn−1)n+1for n>−1∨n<−1−x+log⁡(x)otherwестьe+constant\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    {x(−n+xn−1)n+1for n>−1∨n<−1−x+log⁡(x)otherwестьe+constant\begin{cases} \frac{x \left(- n + x^{n} - 1\right)}{n + 1} & \text{for}\: n > -1 \vee n < -1 \\- x + \log{\left(x \right)} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
         //         1 + n                                   \
     ||  1     0                                        |
     ||----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n   1 + n                                    |
     ||                                                 |
     ||      oo                    otherwise            |
     \\                                                 /
    {−0n+1n+1+1n+1for n>−∞∧n<∞∧n≠−1∞otherwise−1\begin{cases} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 1
    =
    =
         //         1 + n                                   \
     ||  1     0                                        |
     ||----- - ------  for And(n > -oo, n < oo, n != -1)|
-1 + |<1 + n   1 + n                                    |
     ||                                                 |
     ||      oo                    otherwise            |
     \\                                                 /
    {−0n+1n+1+1n+1for n>−∞∧n<∞∧n≠−1∞otherwise−1\begin{cases} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} & \text{for}\: n > -\infty \wedge n < \infty \wedge n \neq -1 \\\infty & \text{otherwise} \end{cases} - 1
    Упростить
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                      // 1 + n             \
 |                       ||x                  |
 | / n    \              ||------  for n != -1|
 | \x  - 1/ dx = C - x + |<1 + n              |
 |                       ||                   |
/                        ||log(x)   otherwise |
                         \\                   /
    ∫(xn−1) dx=C−x+{xn+1n+1for n≠−1log⁡(x)otherwise\int \left(x^{n} - 1\right)\, dx = C - x + \begin{cases} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & \text{for}\: n \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}
    Упростить