Интеграл (x^5)/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     5    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{5}}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{5}}{x + 1} = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x^{3}\, dx = - \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     5                  
 |    x        47         
 |  ----- dx = -- - log(2)
 |  x + 1      60         
 |                        
/                         
0                         

$$-{{60\,\log 2-47}\over{60}}$$

Численный ответ

0.090186152773388

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |    5                             2    4    3    5
 |   x                             x    x    x    x 
 | ----- dx = C + x - log(1 + x) - -- - -- + -- + --
 | x + 1                           2    4    3    5 
 |                                                  
/                                                   

$${{12\,x^5-15\,x^4+20\,x^3-30\,x^2+60\,x}\over{60}}-\log \left(x+1 \right)$$