Интеграл x^5*e^x (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |   5  x   
 |  x *E  dx
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} e^{x} x^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{x} x^{5} = x^{5} e^{x}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 5 x^{4}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 5 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 20 x^{3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 20 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 60 x^{2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 60 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 120 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

7. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 120 e^{x}\, dx = 120 \int e^{x}\, dx$

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Таким образом, результат будет: $120 e^{x}$

8. Теперь упростить:

   $\left(x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} + 120 x - 120\right) e^{x}$

9. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} + 120 x - 120\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} + 120 x - 120\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |   5  x                
 |  x *E  dx = 120 - 44*E
 |                       
/                        
0                        

$${{E\,\left(\log E\right)^5-5\,E\,\left(\log E\right)^4+20\,E\, \left(\log E\right)^3-60\,E\,\left(\log E\right)^2+120\,E\,\log E- 120\,E}\over{\left(\log E\right)^6}}+{{120}\over{\left(\log E\right) ^6}}$$

Численный ответ

0.39559954780201

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                        
 |                                                                         
 |  5  x               x    5  x       2  x      4  x       3  x          x
 | x *E  dx = C - 120*e  + x *e  - 60*x *e  - 5*x *e  + 20*x *e  + 120*x*e 
 |                                                                         
/                                                                          

$${{\left(\left(\log E\right)^5\,x^5-5\,\left(\log E\right)^4\,x^4+20 \,\left(\log E\right)^3\,x^3-60\,\left(\log E\right)^2\,x^2+120\, \log E\,x-120\right)\,e^{\log E\,x}}\over{\left(\log E\right)^6}}$$