Интеграл x^5*cos(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   5          
 |  x *cos(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 5 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 20 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 120 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- 120 \cos{\left(x \right)}$

7. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)

$$-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)}$$

=

=

-120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)

$$-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.108219347026629

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                    
 |                                                                                                     
 |  5                               5              2              3             4                      
 | x *cos(x) dx = C + 120*cos(x) + x *sin(x) - 60*x *cos(x) - 20*x *sin(x) + 5*x *cos(x) + 120*x*sin(x)
 |                                                                                                     
/                                                                                                      

$$\int x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}$$

График