Интеграл x^5*log(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   5          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{5} \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{5}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{5}}{6}\, dx = \frac{1}{6} \int x^{5}\, dx$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{6}}{36}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{6}}{36} \left(6 \log{\left (x \right )} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{6}}{36} \left(6 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{6}}{36} \left(6 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   5                  
 |  x *log(x) dx = -1/36
 |                      
/                       
0                       

$$-{{1}\over{36}}$$

Численный ответ

-0.0277777777777778

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     6    6       
 |  5                 x    x *log(x)
 | x *log(x) dx = C - -- + ---------
 |                    36       6    
/                                   

$${{x^6\,\log x}\over{6}}-{{x^6}\over{36}}$$