Интеграл x^5*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   5          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{5} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 5 x^{4}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 5 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 20 x^{3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 20 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 60 x^{2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 60 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = 120 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 120$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - 120 \cos{\left (x \right )}\, dx = - 120 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- 120 \sin{\left (x \right )}$

7. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x^{5} \cos{\left (x \right )} + 5 x^{4} \sin{\left (x \right )} + 20 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 60 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 120 x \cos{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x^{5} \cos{\left (x \right )} + 5 x^{4} \sin{\left (x \right )} + 20 x^{3} \cos{\left (x \right )} - 60 x^{2} \sin{\left (x \right )} - 120 x \cos{\left (x \right )} + 120 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |   5                                    
 |  x *sin(x) dx = -101*cos(1) + 65*sin(1)
 |                                        
/                                         
0                                         

$$65\,\sin 1-101\,\cos 1$$

Численный ответ

0.125081119831161

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                    
 |                                                                                                     
 |  5                               5                             2             4              3       
 | x *sin(x) dx = C + 120*sin(x) - x *cos(x) - 120*x*cos(x) - 60*x *sin(x) + 5*x *sin(x) + 20*x *cos(x)
 |                                                                                                     
/                                                                                                      

$$\left(5\,x^4-60\,x^2+120\right)\,\sin x+\left(-x^5+20\,x^3-120\,x \right)\,\cos x$$