Интеграл x^7*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   7          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} x^{7} \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{7}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 7 x^{6}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 7 x^{6}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 42 x^{5}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 42 x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 210 x^{4}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 210 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 840 x^{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 840 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2520 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- 2520 x^{2} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2520 \int x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 2 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- 2520 x^{2} \sin{\left(x \right)} - 5040 x \cos{\left(x \right)} + 5040 \sin{\left(x \right)}$

7. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x^{7} \cos{\left(x \right)} + 7 x^{6} \sin{\left(x \right)} + 42 x^{5} \cos{\left(x \right)} - 210 x^{4} \sin{\left(x \right)} - 840 x^{3} \cos{\left(x \right)} + 2520 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5040 x \cos{\left(x \right)} - 5040 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x^{7} \cos{\left(x \right)} + 7 x^{6} \sin{\left(x \right)} + 42 x^{5} \cos{\left(x \right)} - 210 x^{4} \sin{\left(x \right)} - 840 x^{3} \cos{\left(x \right)} + 2520 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5040 x \cos{\left(x \right)} - 5040 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-2723*sin(1) + 4241*cos(1)

$$- 2723 \sin{\left(1 \right)} + 4241 \cos{\left(1 \right)}$$

=

=

-2723*sin(1) + 4241*cos(1)

$$- 2723 \sin{\left(1 \right)} + 4241 \cos{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.0965875548783539

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                        
 |                                                                                                                                         
 |  7                                7               3               4             6              5                2                       
 | x *sin(x) dx = C - 5040*sin(x) - x *cos(x) - 840*x *cos(x) - 210*x *sin(x) + 7*x *sin(x) + 42*x *cos(x) + 2520*x *sin(x) + 5040*x*cos(x)
 |                                                                                                                                         
/                                                                                                                                          

$$\int x^{7} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - x^{7} \cos{\left(x \right)} + 7 x^{6} \sin{\left(x \right)} + 42 x^{5} \cos{\left(x \right)} - 210 x^{4} \sin{\left(x \right)} - 840 x^{3} \cos{\left(x \right)} + 2520 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 5040 x \cos{\left(x \right)} - 5040 \sin{\left(x \right)}$$

График