Интеграл x^6*e^x (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |   6  x   
 |  x *e  dx
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} x^{6} e^{x}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{6}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x^{5}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 6 x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 30 x^{4}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 30 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120 x^{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 120 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 360 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 360 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 720 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 720 x e^{x}\, dx = 720 \int x e^{x}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Таким образом, результат будет: $720 x e^{x} - 720 e^{x}$

7. Теперь упростить:

   $\left(x^{6} - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 120 x^{3} + 360 x^{2} - 720 x + 720\right) e^{x}$

8. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x^{6} - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 120 x^{3} + 360 x^{2} - 720 x + 720\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x^{6} - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 120 x^{3} + 360 x^{2} - 720 x + 720\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-720 + 265*e

$$-720 + 265 e$$

=

=

-720 + 265*e

$$-720 + 265 e$$

Численный ответ

0.344684541646987

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                     
 |                                                                                      
 |  6  x               x    6  x          x        3  x      5  x       4  x        2  x
 | x *e  dx = C + 720*e  + x *e  - 720*x*e  - 120*x *e  - 6*x *e  + 30*x *e  + 360*x *e 
 |                                                                                      
/                                                                                       

$$\int x^{6} e^{x}\, dx = C + x^{6} e^{x} - 6 x^{5} e^{x} + 30 x^{4} e^{x} - 120 x^{3} e^{x} + 360 x^{2} e^{x} - 720 x e^{x} + 720 e^{x}$$

График