Интеграл x^6*log(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   6          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{6} \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{6}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{6}}{7}\, dx = \frac{1}{7} \int x^{6}\, dx$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{7}}{49}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{7}}{49} \left(7 \log{\left (x \right )} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{7}}{49} \left(7 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{7}}{49} \left(7 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   6                  
 |  x *log(x) dx = -1/49
 |                      
/                       
0                       

$$-{{1}\over{49}}$$

Численный ответ

-0.0204081632653061

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     7    7       
 |  6                 x    x *log(x)
 | x *log(x) dx = C - -- + ---------
 |                    49       7    
/                                   

$${{x^7\,\log x}\over{7}}-{{x^7}\over{49}}$$