Интеграл x^3/(1-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     3    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  1 - x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{- x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{- x + 1} = - x^{2} - x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x^{2}\, dx = - \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -1\, dx = - x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left (x - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - x - \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     3                
 |    x                 
 |  ----- dx = oo + pi*I
 |  1 - x               
 |                      
/                       
0                       

$${\it \%a}$$

Численный ответ

42.2576234528862

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |    3                              2    3
 |   x                              x    x 
 | ----- dx = C - x - log(-1 + x) - -- - --
 | 1 - x                            2    3 
 |                                         
/                                          

$$-{{2\,x^3+3\,x^2+6\,x}\over{6}}-\log \left(x-1\right)$$