Интеграл x^3/(1+x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     3    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  1 + x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x + 1} = x^{2} - x + 1 - \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     3                   
 |    x                    
 |  ----- dx = 5/6 - log(2)
 |  1 + x                  
 |                         
/                          
0                          

$$-{{6\,\log 2-5}\over{6}}$$

Численный ответ

0.140186152773388

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |    3                             2    3
 |   x                             x    x 
 | ----- dx = C + x - log(1 + x) - -- + --
 | 1 + x                           2    3 
 |                                        
/                                         

$${{2\,x^3-3\,x^2+6\,x}\over{6}}-\log \left(x+1\right)$$