Интеграл x^3/(x-2) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     3    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x - 2   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x - 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4 + \frac{8}{x - 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $x^{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 4\, dx = 4 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $8 \log{\left (x - 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 8 \log{\left (x - 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 8 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 8 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |     3                      
 |    x                       
 |  ----- dx = 16/3 - 8*log(2)
 |  x - 2                     
 |                            
/                             
0                             

$${{16}\over{3}}-8\,\log 2$$

Численный ответ

-0.211844111146229

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                                             
 |    3                                       3
 |   x             2                         x 
 | ----- dx = C + x  + 4*x + 8*log(-2 + x) + --
 | x - 2                                     3 
 |                                             
/                                              

$${{x^3+3\,x^2+12\,x}\over{3}}+8\,\log \left(x-2\right)$$