Интеграл x^3/(x+2) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     3    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 2   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 x\, dx = - 2 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- x^{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 4\, dx = 4 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{8}{x + 2}\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 8 \log{\left (x + 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left (x + 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left (x + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     3                                 
 |    x                                  
 |  ----- dx = 10/3 - 8*log(3) + 8*log(2)
 |  x + 2                                
 |                                       
/                                        
0                                        

$$8\,\log 2-{{24\,\log 3-10}\over{3}}$$

Численный ответ

0.0896124684680183

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                                            
 |    3                                      3
 |   x             2                        x 
 | ----- dx = C - x  - 8*log(2 + x) + 4*x + --
 | x + 2                                    3 
 |                                            
/                                             

$${{x^3-3\,x^2+12\,x}\over{3}}-8\,\log \left(x+2\right)$$