Интеграл (x^3+1)/x (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   3       
 |  x  + 1   
 |  ------ dx
 |    x      
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(x^{3} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{3}$.

      Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u + 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u + 1\right)\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \left(u + 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u + 1\right) = 1 + \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Результат есть: $u + \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3} + \frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \log{\left (x^{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(x^{3} + 1\right) = x^{2} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \log{\left (x^{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \log{\left (x^{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |   3            
 |  x  + 1        
 |  ------ dx = oo
 |    x           
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

44.4237794673262

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |  3               3      / 3\
 | x  + 1          x    log\x /
 | ------ dx = C + -- + -------
 |   x             3       3   
 |                             
/                              

$$\log x+{{x^3}\over{3}}$$