Интеграл x^3*asin(x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |   3           
 |  x *asin(x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x^{3} \operatorname{asin}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{3}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{4}}{4 \sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**4, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 - cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(-cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**4, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**4/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \begin{cases} \frac{x}{8} \left(- 2 x^{2} + 1\right) \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{x}{2} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{3}{8} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{4}}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{16} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{3 x}{32} \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{3}{32} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{4}}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{16} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{3 x}{32} \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{3}{32} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{4}}{4} \operatorname{asin}{\left (x \right )} + \frac{x^{3}}{16} \sqrt{- x^{2} + 1} + \frac{3 x}{32} \sqrt{- x^{2} + 1} - \frac{3}{32} \operatorname{asin}{\left (x \right )} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   3              5*pi
 |  x *asin(x) dx = ----
 |                   64 
/                       
0                       

$${{5\,\pi}\over{64}}$$

Численный ответ

0.245436926061703

Ответ (Неопределённый)

                       /                 ________        ________                                                
                       |                /      2        /      2  /       2\                                     
  /                    <3*asin(x)   x*\/  1 - x     x*\/  1 - x  *\1 - 2*x /                                     
 |                     |--------- - ------------- + ------------------------  for And(x > -1, x < 1)    4        
 |  3                  \    8             2                    8                                       x *asin(x)
 | x *asin(x) dx = C - ----------------------------------------------------------------------------- + ----------
 |                                                           4                                             4     
/                                                                                                                

$${{x^4\,\arcsin x}\over{4}}-{{{{3\,\arcsin x}\over{8}}-{{x^3\,\sqrt{ 1-x^2}}\over{4}}-{{3\,x\,\sqrt{1-x^2}}\over{8}}}\over{4}}$$