Интеграл x^(3)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   3          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{3} \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{3}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{1}{4} \int x^{3}\, dx$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{4}}{16}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{4}}{16} \left(4 \log{\left (x \right )} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{4}}{16} \left(4 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{4}}{16} \left(4 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   3                  
 |  x *log(x) dx = -1/16
 |                      
/                       
0                       

$$-{{1}\over{16}}$$

Численный ответ

-0.0625

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     4    4       
 |  3                 x    x *log(x)
 | x *log(x) dx = C - -- + ---------
 |                    16       4    
/                                   

$${{x^4\,\log x}\over{4}}-{{x^4}\over{16}}$$