Интеграл x^3*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |   3          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{3} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 3 x^{2}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 3 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - 6 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - 6 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = -6$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 6 \cos{\left (x \right )}\, dx = 6 \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $6 \sin{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x^{3} \cos{\left (x \right )} + 3 x^{2} \sin{\left (x \right )} + 6 x \cos{\left (x \right )} - 6 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x^{3} \cos{\left (x \right )} + 3 x^{2} \sin{\left (x \right )} + 6 x \cos{\left (x \right )} - 6 \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |   3                                 
 |  x *sin(x) dx = -3*sin(1) + 5*cos(1)
 |                                     
/                                      
0                                      

$$5\,\cos 1-3\,\sin 1$$

Численный ответ

0.177098574917009

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                  
 |                                                                   
 |  3                             3             2                    
 | x *sin(x) dx = C - 6*sin(x) - x *cos(x) + 3*x *sin(x) + 6*x*cos(x)
 |                                                                   
/                                                                    

$$\left(3\,x^2-6\right)\,\sin x+\left(6\,x-x^3\right)\,\cos x$$