Abs(cos(x))>1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(cos(x))>1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|cos(x)| > 1/2

$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| > \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| > \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\cos{\left (x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = 11.5191730632$$
$$x_{3} = -57.5958653158$$
$$x_{4} = 98.4365698125$$
$$x_{5} = 41.8879020479$$
$$x_{6} = -60.7374579694$$
$$x_{7} = -90.0589894029$$
$$x_{8} = 48.171087355$$
$$x_{9} = -13.6135681656$$
$$x_{10} = -68.0678408278$$
$$x_{11} = 10.471975512$$
$$x_{12} = -63.879050623$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -79.5870138909$$
$$x_{16} = -54.4542726622$$
$$x_{17} = -83.7758040957$$
$$x_{18} = 99.4837673637$$
$$x_{19} = -61.7846555206$$
$$x_{20} = -71.2094334814$$
$$x_{21} = 82.7286065445$$
$$x_{22} = -52.3598775598$$
$$x_{23} = -77.4926187885$$
$$x_{24} = 275.412955965$$
$$x_{25} = -39.7935069455$$
$$x_{26} = -673.348025419$$
$$x_{27} = 8.37758040957$$
$$x_{28} = 92.1533845053$$
$$x_{29} = 3803.42150595$$
$$x_{30} = -32.4631240871$$
$$x_{31} = 63.879050623$$
$$x_{32} = -85.8701991981$$
$$x_{33} = 4.18879020479$$
$$x_{34} = -96.3421747101$$
$$x_{35} = -42.9350995991$$
$$x_{36} = -41.8879020479$$
$$x_{37} = 26.1799387799$$
$$x_{38} = 54.4542726622$$
$$x_{39} = 46.0766922527$$
$$x_{40} = -2.09439510239$$
$$x_{41} = 74.351026135$$
$$x_{42} = -17.8023583703$$
$$x_{43} = -27.2271363311$$
$$x_{44} = 90.0589894029$$
$$x_{45} = -33.5103216383$$
$$x_{46} = 76.4454212374$$
$$x_{47} = -99.4837673637$$
$$x_{48} = 39.7935069455$$
$$x_{49} = 32.4631240871$$
$$x_{50} = 68.0678408278$$
$$x_{51} = 269.129770658$$
$$x_{52} = 77.4926187885$$
$$x_{53} = 55.5014702134$$
$$x_{54} = 2.09439510239$$
$$x_{55} = -76.4454212374$$
$$x_{56} = -48.171087355$$
$$x_{57} = -92.1533845053$$
$$x_{58} = -11.5191730632$$
$$x_{59} = -46.0766922527$$
$$x_{60} = -26.1799387799$$
$$x_{61} = -35.6047167407$$
$$x_{62} = 24.0855436775$$
$$x_{63} = -49.2182849062$$
$$x_{64} = 85.8701991981$$
$$x_{65} = 96.3421747101$$
$$x_{66} = -30.3687289847$$
$$x_{67} = -98.4365698125$$
$$x_{68} = -24.0855436775$$
$$x_{69} = 83.7758040957$$
$$x_{70} = -19.8967534727$$
$$x_{71} = 16.7551608191$$
$$x_{72} = -93.2005820565$$
$$x_{73} = 33.5103216383$$
$$x_{74} = -5.23598775598$$
$$x_{75} = 70.1622359302$$
$$x_{76} = 19.8967534727$$
$$x_{77} = 60.7374579694$$
$$x_{78} = -10.471975512$$
$$x_{79} = 17.8023583703$$
$$x_{80} = -4.18879020479$$
$$x_{81} = 52.3598775598$$
$$x_{82} = -55.5014702134$$
$$x_{83} = -74.351026135$$
$$x_{84} = 30.3687289847$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{2} = 11.5191730632$$
$$x_{3} = -57.5958653158$$
$$x_{4} = 98.4365698125$$
$$x_{5} = 41.8879020479$$
$$x_{6} = -60.7374579694$$
$$x_{7} = -90.0589894029$$
$$x_{8} = 48.171087355$$
$$x_{9} = -13.6135681656$$
$$x_{10} = -68.0678408278$$
$$x_{11} = 10.471975512$$
$$x_{12} = -63.879050623$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{15} = -79.5870138909$$
$$x_{16} = -54.4542726622$$
$$x_{17} = -83.7758040957$$
$$x_{18} = 99.4837673637$$
$$x_{19} = -61.7846555206$$
$$x_{20} = -71.2094334814$$
$$x_{21} = 82.7286065445$$
$$x_{22} = -52.3598775598$$
$$x_{23} = -77.4926187885$$
$$x_{24} = 275.412955965$$
$$x_{25} = -39.7935069455$$
$$x_{26} = -673.348025419$$
$$x_{27} = 8.37758040957$$
$$x_{28} = 92.1533845053$$
$$x_{29} = 3803.42150595$$
$$x_{30} = -32.4631240871$$
$$x_{31} = 63.879050623$$
$$x_{32} = -85.8701991981$$
$$x_{33} = 4.18879020479$$
$$x_{34} = -96.3421747101$$
$$x_{35} = -42.9350995991$$
$$x_{36} = -41.8879020479$$
$$x_{37} = 26.1799387799$$
$$x_{38} = 54.4542726622$$
$$x_{39} = 46.0766922527$$
$$x_{40} = -2.09439510239$$
$$x_{41} = 74.351026135$$
$$x_{42} = -17.8023583703$$
$$x_{43} = -27.2271363311$$
$$x_{44} = 90.0589894029$$
$$x_{45} = -33.5103216383$$
$$x_{46} = 76.4454212374$$
$$x_{47} = -99.4837673637$$
$$x_{48} = 39.7935069455$$
$$x_{49} = 32.4631240871$$
$$x_{50} = 68.0678408278$$
$$x_{51} = 269.129770658$$
$$x_{52} = 77.4926187885$$
$$x_{53} = 55.5014702134$$
$$x_{54} = 2.09439510239$$
$$x_{55} = -76.4454212374$$
$$x_{56} = -48.171087355$$
$$x_{57} = -92.1533845053$$
$$x_{58} = -11.5191730632$$
$$x_{59} = -46.0766922527$$
$$x_{60} = -26.1799387799$$
$$x_{61} = -35.6047167407$$
$$x_{62} = 24.0855436775$$
$$x_{63} = -49.2182849062$$
$$x_{64} = 85.8701991981$$
$$x_{65} = 96.3421747101$$
$$x_{66} = -30.3687289847$$
$$x_{67} = -98.4365698125$$
$$x_{68} = -24.0855436775$$
$$x_{69} = 83.7758040957$$
$$x_{70} = -19.8967534727$$
$$x_{71} = 16.7551608191$$
$$x_{72} = -93.2005820565$$
$$x_{73} = 33.5103216383$$
$$x_{74} = -5.23598775598$$
$$x_{75} = 70.1622359302$$
$$x_{76} = 19.8967534727$$
$$x_{77} = 60.7374579694$$
$$x_{78} = -10.471975512$$
$$x_{79} = 17.8023583703$$
$$x_{80} = -4.18879020479$$
$$x_{81} = 52.3598775598$$
$$x_{82} = -55.5014702134$$
$$x_{83} = -74.351026135$$
$$x_{84} = 30.3687289847$$
Данные корни
$$x_{26} = -673.348025419$$
$$x_{47} = -99.4837673637$$
$$x_{67} = -98.4365698125$$
$$x_{34} = -96.3421747101$$
$$x_{72} = -93.2005820565$$
$$x_{57} = -92.1533845053$$
$$x_{7} = -90.0589894029$$
$$x_{32} = -85.8701991981$$
$$x_{17} = -83.7758040957$$
$$x_{15} = -79.5870138909$$
$$x_{23} = -77.4926187885$$
$$x_{55} = -76.4454212374$$
$$x_{83} = -74.351026135$$
$$x_{20} = -71.2094334814$$
$$x_{1} = -70.1622359302$$
$$x_{10} = -68.0678408278$$
$$x_{12} = -63.879050623$$
$$x_{19} = -61.7846555206$$
$$x_{6} = -60.7374579694$$
$$x_{3} = -57.5958653158$$
$$x_{82} = -55.5014702134$$
$$x_{16} = -54.4542726622$$
$$x_{22} = -52.3598775598$$
$$x_{63} = -49.2182849062$$
$$x_{56} = -48.171087355$$
$$x_{59} = -46.0766922527$$
$$x_{35} = -42.9350995991$$
$$x_{36} = -41.8879020479$$
$$x_{25} = -39.7935069455$$
$$x_{61} = -35.6047167407$$
$$x_{45} = -33.5103216383$$
$$x_{30} = -32.4631240871$$
$$x_{66} = -30.3687289847$$
$$x_{43} = -27.2271363311$$
$$x_{60} = -26.1799387799$$
$$x_{68} = -24.0855436775$$
$$x_{70} = -19.8967534727$$
$$x_{42} = -17.8023583703$$
$$x_{9} = -13.6135681656$$
$$x_{58} = -11.5191730632$$
$$x_{78} = -10.471975512$$
$$x_{74} = -5.23598775598$$
$$x_{80} = -4.18879020479$$
$$x_{40} = -2.09439510239$$
$$x_{54} = 2.09439510239$$
$$x_{33} = 4.18879020479$$
$$x_{27} = 8.37758040957$$
$$x_{11} = 10.471975512$$
$$x_{2} = 11.5191730632$$
$$x_{71} = 16.7551608191$$
$$x_{79} = 17.8023583703$$
$$x_{76} = 19.8967534727$$
$$x_{62} = 24.0855436775$$
$$x_{37} = 26.1799387799$$
$$x_{84} = 30.3687289847$$
$$x_{49} = 32.4631240871$$
$$x_{73} = 33.5103216383$$
$$x_{13} = 38.7463093943$$
$$x_{48} = 39.7935069455$$
$$x_{5} = 41.8879020479$$
$$x_{39} = 46.0766922527$$
$$x_{8} = 48.171087355$$
$$x_{81} = 52.3598775598$$
$$x_{38} = 54.4542726622$$
$$x_{53} = 55.5014702134$$
$$x_{77} = 60.7374579694$$
$$x_{14} = 61.7846555206$$
$$x_{31} = 63.879050623$$
$$x_{50} = 68.0678408278$$
$$x_{75} = 70.1622359302$$
$$x_{41} = 74.351026135$$
$$x_{46} = 76.4454212374$$
$$x_{52} = 77.4926187885$$
$$x_{21} = 82.7286065445$$
$$x_{69} = 83.7758040957$$
$$x_{64} = 85.8701991981$$
$$x_{44} = 90.0589894029$$
$$x_{28} = 92.1533845053$$
$$x_{65} = 96.3421747101$$
$$x_{4} = 98.4365698125$$
$$x_{18} = 99.4837673637$$
$$x_{51} = 269.129770658$$
$$x_{24} = 275.412955965$$
$$x_{29} = 3803.42150595$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{26}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{26} - \frac{1}{10}$$
=
$$-673.448025419$$
=
$$-673.448025419$$
подставляем в выражение
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| > \frac{1}{2}$$
$$\left|{\cos{\left (-673.448025419 \right )}}\right| > \frac{1}{2}$$

0.411043808052139 > 1/2

Тогда
$$x < -673.348025419$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -673.348025419 \wedge x < -99.4837673637$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x26      x47      x67      x34      x72      x57      x7      x32      x17      x15      x23      x55      x83      x20      x1      x10      x12      x19      x6      x3      x82      x16      x22      x63      x56      x59      x35      x36      x25      x61      x45      x30      x66      x43      x60      x68      x70      x42      x9      x58      x78      x74      x80      x40      x54      x33      x27      x11      x2      x71      x79      x76      x62      x37      x84      x49      x73      x13      x48      x5      x39      x8      x81      x38      x53      x77      x14      x31      x50      x75      x41      x46      x52      x21      x69      x64      x44      x28      x65      x4      x18      x51      x24      x29

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -673.348025419 \wedge x < -99.4837673637$$
$$x > -98.4365698125 \wedge x < -96.3421747101$$
$$x > -93.2005820565 \wedge x < -92.1533845053$$
$$x > -90.0589894029 \wedge x < -85.8701991981$$
$$x > -83.7758040957 \wedge x < -79.5870138909$$
$$x > -77.4926187885 \wedge x < -76.4454212374$$
$$x > -74.351026135 \wedge x < -71.2094334814$$
$$x > -70.1622359302 \wedge x < -68.0678408278$$
$$x > -63.879050623 \wedge x < -61.7846555206$$
$$x > -60.7374579694 \wedge x < -57.5958653158$$
$$x > -55.5014702134 \wedge x < -54.4542726622$$
$$x > -52.3598775598 \wedge x < -49.2182849062$$
$$x > -48.171087355 \wedge x < -46.0766922527$$
$$x > -42.9350995991 \wedge x < -41.8879020479$$
$$x > -39.7935069455 \wedge x < -35.6047167407$$
$$x > -33.5103216383 \wedge x < -32.4631240871$$
$$x > -30.3687289847 \wedge x < -27.2271363311$$
$$x > -26.1799387799 \wedge x < -24.0855436775$$
$$x > -19.8967534727 \wedge x < -17.8023583703$$
$$x > -13.6135681656 \wedge x < -11.5191730632$$
$$x > -10.471975512 \wedge x < -5.23598775598$$
$$x > -4.18879020479 \wedge x < -2.09439510239$$
$$x > 2.09439510239 \wedge x < 4.18879020479$$
$$x > 8.37758040957 \wedge x < 10.471975512$$
$$x > 11.5191730632 \wedge x < 16.7551608191$$
$$x > 17.8023583703 \wedge x < 19.8967534727$$
$$x > 24.0855436775 \wedge x < 26.1799387799$$
$$x > 30.3687289847 \wedge x < 32.4631240871$$
$$x > 33.5103216383 \wedge x < 38.7463093943$$
$$x > 39.7935069455 \wedge x < 41.8879020479$$
$$x > 46.0766922527 \wedge x < 48.171087355$$
$$x > 52.3598775598 \wedge x < 54.4542726622$$
$$x > 55.5014702134 \wedge x < 60.7374579694$$
$$x > 61.7846555206 \wedge x < 63.879050623$$
$$x > 68.0678408278 \wedge x < 70.1622359302$$
$$x > 74.351026135 \wedge x < 76.4454212374$$
$$x > 77.4926187885 \wedge x < 82.7286065445$$
$$x > 83.7758040957 \wedge x < 85.8701991981$$
$$x > 90.0589894029 \wedge x < 92.1533845053$$
$$x > 96.3421747101 \wedge x < 98.4365698125$$
$$x > 99.4837673637 \wedge x < 269.129770658$$
$$x > 275.412955965 \wedge x < 3803.42150595$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /2*pi          4*pi\\
Or|And|-oo < x, x < --|, And|---- < x, x < ----||
  \   \             3 /     \ 3             3  //

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}\right)$$

Быстрый ответ 2

      pi     2*pi  4*pi 
(-oo, --) U (----, ----)
      3       3     3   

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$