Abs(cos(x))<=sin(x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(cos(x))<=sin(x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

|cos(x)| <= sin(x)

$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| \leq \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| \leq \sin{\left (x \right )}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| = \sin{\left (x \right )}$$
Решаем:
$$x_{1} = -80.8960108299$$
$$x_{2} = 19.6349540849$$
$$x_{3} = -3.92699081699$$
$$x_{4} = 21.2057504117$$
$$x_{5} = 82.4668071567$$
$$x_{6} = 0.785398163397$$
$$x_{7} = -73.042029196$$
$$x_{8} = 96.6039740979$$
$$x_{9} = 32.2013246993$$
$$x_{10} = 51.0508806208$$
$$x_{11} = 25.9181393921$$
$$x_{12} = -5.49778714378$$
$$x_{13} = 77.7544181763$$
$$x_{14} = 57.334065928$$
$$x_{15} = -43.1968989869$$
$$x_{16} = 33.7721210261$$
$$x_{17} = 76.1836218496$$
$$x_{18} = 107.599548385$$
$$x_{19} = -29.0597320457$$
$$x_{20} = 46.3384916404$$
$$x_{21} = -99.7455667515$$
$$x_{22} = -60.4756585816$$
$$x_{23} = -16.4933614313$$
$$x_{24} = -85.6083998103$$
$$x_{25} = -47.9092879672$$
$$x_{26} = 71.4712328692$$
$$x_{27} = -74.6128255228$$
$$x_{28} = 88.7499924639$$
$$x_{29} = -10.2101761242$$
$$x_{30} = -162.577419823$$
$$x_{31} = -55.7632696012$$
$$x_{32} = -54.1924732744$$
$$x_{33} = 7.06858347058$$
$$x_{34} = 14.9225651046$$
$$x_{35} = 95.0331777711$$
$$x_{36} = -98.1747704247$$
$$x_{37} = -795.608339522$$
$$x_{38} = 40.0553063333$$
$$x_{39} = -18.0641577581$$
$$x_{40} = 65.188047562$$
$$x_{41} = -36.9137136797$$
$$x_{42} = 69.9004365424$$
$$x_{43} = -204.988920647$$
$$x_{44} = 102.887159405$$
$$x_{45} = 13.3517687778$$
$$x_{46} = -22.7765467385$$
$$x_{47} = -30.6305283725$$
$$x_{48} = 63.6172512352$$
$$x_{49} = -66.7588438888$$
$$x_{50} = 90.3207887907$$
$$x_{51} = 38.4845100065$$
$$x_{52} = -79.3252145031$$
$$x_{53} = 58.9048622548$$
$$x_{54} = -62.0464549084$$
$$x_{55} = -49.480084294$$
$$x_{56} = -3667.0240249$$
$$x_{57} = 52.6216769476$$
$$x_{58} = -68.3296402156$$
$$x_{59} = -93.4623814443$$
$$x_{60} = -35.3429173529$$
$$x_{61} = 44.7676953137$$
$$x_{62} = -41.6261026601$$
$$x_{63} = 84.0376034835$$
$$x_{64} = -87.1791961371$$
$$x_{65} = -24.3473430653$$
$$x_{66} = -11.780972451$$
$$x_{67} = 27.4889357189$$
$$x_{68} = 2.35619449019$$
$$x_{69} = 8.63937979737$$
$$x_{70} = -91.8915851175$$
$$x_{1} = -80.8960108299$$
$$x_{2} = 19.6349540849$$
$$x_{3} = -3.92699081699$$
$$x_{4} = 21.2057504117$$
$$x_{5} = 82.4668071567$$
$$x_{6} = 0.785398163397$$
$$x_{7} = -73.042029196$$
$$x_{8} = 96.6039740979$$
$$x_{9} = 32.2013246993$$
$$x_{10} = 51.0508806208$$
$$x_{11} = 25.9181393921$$
$$x_{12} = -5.49778714378$$
$$x_{13} = 77.7544181763$$
$$x_{14} = 57.334065928$$
$$x_{15} = -43.1968989869$$
$$x_{16} = 33.7721210261$$
$$x_{17} = 76.1836218496$$
$$x_{18} = 107.599548385$$
$$x_{19} = -29.0597320457$$
$$x_{20} = 46.3384916404$$
$$x_{21} = -99.7455667515$$
$$x_{22} = -60.4756585816$$
$$x_{23} = -16.4933614313$$
$$x_{24} = -85.6083998103$$
$$x_{25} = -47.9092879672$$
$$x_{26} = 71.4712328692$$
$$x_{27} = -74.6128255228$$
$$x_{28} = 88.7499924639$$
$$x_{29} = -10.2101761242$$
$$x_{30} = -162.577419823$$
$$x_{31} = -55.7632696012$$
$$x_{32} = -54.1924732744$$
$$x_{33} = 7.06858347058$$
$$x_{34} = 14.9225651046$$
$$x_{35} = 95.0331777711$$
$$x_{36} = -98.1747704247$$
$$x_{37} = -795.608339522$$
$$x_{38} = 40.0553063333$$
$$x_{39} = -18.0641577581$$
$$x_{40} = 65.188047562$$
$$x_{41} = -36.9137136797$$
$$x_{42} = 69.9004365424$$
$$x_{43} = -204.988920647$$
$$x_{44} = 102.887159405$$
$$x_{45} = 13.3517687778$$
$$x_{46} = -22.7765467385$$
$$x_{47} = -30.6305283725$$
$$x_{48} = 63.6172512352$$
$$x_{49} = -66.7588438888$$
$$x_{50} = 90.3207887907$$
$$x_{51} = 38.4845100065$$
$$x_{52} = -79.3252145031$$
$$x_{53} = 58.9048622548$$
$$x_{54} = -62.0464549084$$
$$x_{55} = -49.480084294$$
$$x_{56} = -3667.0240249$$
$$x_{57} = 52.6216769476$$
$$x_{58} = -68.3296402156$$
$$x_{59} = -93.4623814443$$
$$x_{60} = -35.3429173529$$
$$x_{61} = 44.7676953137$$
$$x_{62} = -41.6261026601$$
$$x_{63} = 84.0376034835$$
$$x_{64} = -87.1791961371$$
$$x_{65} = -24.3473430653$$
$$x_{66} = -11.780972451$$
$$x_{67} = 27.4889357189$$
$$x_{68} = 2.35619449019$$
$$x_{69} = 8.63937979737$$
$$x_{70} = -91.8915851175$$
Данные корни
$$x_{56} = -3667.0240249$$
$$x_{37} = -795.608339522$$
$$x_{43} = -204.988920647$$
$$x_{30} = -162.577419823$$
$$x_{21} = -99.7455667515$$
$$x_{36} = -98.1747704247$$
$$x_{59} = -93.4623814443$$
$$x_{70} = -91.8915851175$$
$$x_{64} = -87.1791961371$$
$$x_{24} = -85.6083998103$$
$$x_{1} = -80.8960108299$$
$$x_{52} = -79.3252145031$$
$$x_{27} = -74.6128255228$$
$$x_{7} = -73.042029196$$
$$x_{58} = -68.3296402156$$
$$x_{49} = -66.7588438888$$
$$x_{54} = -62.0464549084$$
$$x_{22} = -60.4756585816$$
$$x_{31} = -55.7632696012$$
$$x_{32} = -54.1924732744$$
$$x_{55} = -49.480084294$$
$$x_{25} = -47.9092879672$$
$$x_{15} = -43.1968989869$$
$$x_{62} = -41.6261026601$$
$$x_{41} = -36.9137136797$$
$$x_{60} = -35.3429173529$$
$$x_{47} = -30.6305283725$$
$$x_{19} = -29.0597320457$$
$$x_{65} = -24.3473430653$$
$$x_{46} = -22.7765467385$$
$$x_{39} = -18.0641577581$$
$$x_{23} = -16.4933614313$$
$$x_{66} = -11.780972451$$
$$x_{29} = -10.2101761242$$
$$x_{12} = -5.49778714378$$
$$x_{3} = -3.92699081699$$
$$x_{6} = 0.785398163397$$
$$x_{68} = 2.35619449019$$
$$x_{33} = 7.06858347058$$
$$x_{69} = 8.63937979737$$
$$x_{45} = 13.3517687778$$
$$x_{34} = 14.9225651046$$
$$x_{2} = 19.6349540849$$
$$x_{4} = 21.2057504117$$
$$x_{11} = 25.9181393921$$
$$x_{67} = 27.4889357189$$
$$x_{9} = 32.2013246993$$
$$x_{16} = 33.7721210261$$
$$x_{51} = 38.4845100065$$
$$x_{38} = 40.0553063333$$
$$x_{61} = 44.7676953137$$
$$x_{20} = 46.3384916404$$
$$x_{10} = 51.0508806208$$
$$x_{57} = 52.6216769476$$
$$x_{14} = 57.334065928$$
$$x_{53} = 58.9048622548$$
$$x_{48} = 63.6172512352$$
$$x_{40} = 65.188047562$$
$$x_{42} = 69.9004365424$$
$$x_{26} = 71.4712328692$$
$$x_{17} = 76.1836218496$$
$$x_{13} = 77.7544181763$$
$$x_{5} = 82.4668071567$$
$$x_{63} = 84.0376034835$$
$$x_{28} = 88.7499924639$$
$$x_{50} = 90.3207887907$$
$$x_{35} = 95.0331777711$$
$$x_{8} = 96.6039740979$$
$$x_{44} = 102.887159405$$
$$x_{18} = 107.599548385$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{56}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{56} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3667.1240249$$
=
$$-3667.1240249$$
подставляем в выражение
$$\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| \leq \sin{\left (x \right )}$$
$$\left|{\cos{\left (-3667.1240249 \right )}}\right| \leq \sin{\left (-3667.1240249 \right )}$$

0.632981308756673 <= 0.774167076776512

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -3667.0240249$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------•-------
       x56      x37      x43      x30      x21      x36      x59      x70      x64      x24      x1      x52      x27      x7      x58      x49      x54      x22      x31      x32      x55      x25      x15      x62      x41      x60      x47      x19      x65      x46      x39      x23      x66      x29      x12      x3      x6      x68      x33      x69      x45      x34      x2      x4      x11      x67      x9      x16      x51      x38      x61      x20      x10      x57      x14      x53      x48      x40      x42      x26      x17      x13      x5      x63      x28      x50      x35      x8      x44      x18

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -3667.0240249$$
$$x \geq -795.608339522 \wedge x \leq -204.988920647$$
$$x \geq -162.577419823 \wedge x \leq -99.7455667515$$
$$x \geq -98.1747704247 \wedge x \leq -93.4623814443$$
$$x \geq -91.8915851175 \wedge x \leq -87.1791961371$$
$$x \geq -85.6083998103 \wedge x \leq -80.8960108299$$
$$x \geq -79.3252145031 \wedge x \leq -74.6128255228$$
$$x \geq -73.042029196 \wedge x \leq -68.3296402156$$
$$x \geq -66.7588438888 \wedge x \leq -62.0464549084$$
$$x \geq -60.4756585816 \wedge x \leq -55.7632696012$$
$$x \geq -54.1924732744 \wedge x \leq -49.480084294$$
$$x \geq -47.9092879672 \wedge x \leq -43.1968989869$$
$$x \geq -41.6261026601 \wedge x \leq -36.9137136797$$
$$x \geq -35.3429173529 \wedge x \leq -30.6305283725$$
$$x \geq -29.0597320457 \wedge x \leq -24.3473430653$$
$$x \geq -22.7765467385 \wedge x \leq -18.0641577581$$
$$x \geq -16.4933614313 \wedge x \leq -11.780972451$$
$$x \geq -10.2101761242 \wedge x \leq -5.49778714378$$
$$x \geq -3.92699081699 \wedge x \leq 0.785398163397$$
$$x \geq 2.35619449019 \wedge x \leq 7.06858347058$$
$$x \geq 8.63937979737 \wedge x \leq 13.3517687778$$
$$x \geq 14.9225651046 \wedge x \leq 19.6349540849$$
$$x \geq 21.2057504117 \wedge x \leq 25.9181393921$$
$$x \geq 27.4889357189 \wedge x \leq 32.2013246993$$
$$x \geq 33.7721210261 \wedge x \leq 38.4845100065$$
$$x \geq 40.0553063333 \wedge x \leq 44.7676953137$$
$$x \geq 46.3384916404 \wedge x \leq 51.0508806208$$
$$x \geq 52.6216769476 \wedge x \leq 57.334065928$$
$$x \geq 58.9048622548 \wedge x \leq 63.6172512352$$
$$x \geq 65.188047562 \wedge x \leq 69.9004365424$$
$$x \geq 71.4712328692 \wedge x \leq 76.1836218496$$
$$x \geq 77.7544181763 \wedge x \leq 82.4668071567$$
$$x \geq 84.0376034835 \wedge x \leq 88.7499924639$$
$$x \geq 90.3207887907 \wedge x \leq 95.0331777711$$
$$x \geq 96.6039740979 \wedge x \leq 102.887159405$$
$$x \geq 107.599548385$$

Быстрый ответ

   /pi            3*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \4              4  /

$$\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{3 \pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 pi  3*pi 
[--, ----]
 4    4   

$$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

График