Abs(sin(x))<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(sin(x))<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|sin(x)| < 1

$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = 1$$
преобразуем
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| - 1 = 0$$
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 26.7035380604$$
$$x_{2} = 39.2699085343$$
$$x_{3} = 20.4203521478$$
$$x_{4} = -86.3937982346$$
$$x_{5} = -29.8451300955$$
$$x_{6} = -58.1194639977$$
$$x_{7} = 32.9867233135$$
$$x_{8} = 76.9690204681$$
$$x_{9} = -51.8362786893$$
$$x_{10} = 48.6946866366$$
$$x_{11} = -48.6946857788$$
$$x_{12} = 45.5530937308$$
$$x_{13} = 45.5530929823$$
$$x_{14} = 83.2522048888$$
$$x_{15} = 23.5619451519$$
$$x_{16} = 51.8362789032$$
$$x_{17} = 17.2787599561$$
$$x_{18} = -64.4026497466$$
$$x_{19} = -83.2522048211$$
$$x_{20} = -76.9690203749$$
$$x_{21} = -26.7035372005$$
$$x_{22} = -70.6858343571$$
$$x_{23} = -86.3937977431$$
$$x_{24} = 10.9955739382$$
$$x_{25} = -17.2787590921$$
$$x_{26} = -80.1106125782$$
$$x_{27} = -39.2699084146$$
$$x_{28} = 29.8451303232$$
$$x_{29} = 80.1106131369$$
$$x_{30} = -95.8185758681$$
$$x_{31} = 92.6769837789$$
$$x_{32} = -10.9955738414$$
$$x_{33} = -26.7035379987$$
$$x_{34} = 14.13716711$$
$$x_{35} = 70.6858352127$$
$$x_{36} = 17.2787591562$$
$$x_{37} = -61.2610569934$$
$$x_{38} = -7.85398149665$$
$$x_{39} = 32.9867225165$$
$$x_{40} = 7.85398174307$$
$$x_{41} = 61.2610563112$$
$$x_{42} = -98.9601681513$$
$$x_{43} = -4.71238862219$$
$$x_{44} = -10.9955746401$$
$$x_{45} = 92.6769830592$$
$$x_{46} = -70.6858351534$$
$$x_{47} = 23.561944406$$
$$x_{48} = 54.9778710948$$
$$x_{49} = -32.9867224188$$
$$x_{50} = -61.2610562447$$
$$x_{51} = 98.9601690454$$
$$x_{52} = -48.6946865761$$
$$x_{53} = 86.393797887$$
$$x_{54} = -36.1283154173$$
$$x_{55} = 95.818576063$$
$$x_{56} = -17.2787598356$$
$$x_{57} = 89.5353901351$$
$$x_{58} = 67.5442423097$$
$$x_{59} = -42.4115005851$$
$$x_{60} = -32.9867232184$$
$$x_{61} = -20.4203520061$$
$$x_{62} = 10.9955747361$$
$$x_{63} = -98.9601689531$$
$$x_{64} = -23.5619450115$$
$$x_{65} = -64.4026491641$$
$$x_{66} = 73.8274274831$$
$$x_{67} = 70.6858344802$$
$$x_{68} = 89.5353908886$$
$$x_{69} = -4.71238942125$$
$$x_{70} = 36.1283156186$$
$$x_{71} = 1.5707965729$$
$$x_{72} = 48.6946859012$$
$$x_{73} = -92.6769829355$$
$$x_{74} = -83.2522055723$$
$$x_{75} = -89.5353907502$$
$$x_{76} = -92.6769837308$$
$$x_{77} = -1.57079643189$$
$$x_{78} = 26.7035373222$$
$$x_{79} = 58.119464398$$
$$x_{80} = 98.9601682516$$
$$x_{81} = 67.5442415587$$
$$x_{82} = 1.57079582972$$
$$x_{83} = -67.5442421707$$
$$x_{84} = -20.4203527083$$
$$x_{85} = -42.4115012353$$
$$x_{86} = 42.4115007275$$
$$x_{87} = 76.9690196732$$
$$x_{88} = 83.2522056908$$
$$x_{89} = -45.5530935911$$
$$x_{90} = 61.2610571126$$
$$x_{91} = 4.7123894842$$
$$x_{92} = -73.8274272798$$
$$x_{93} = -54.9778717967$$
$$x_{94} = 64.4026493072$$
$$x_{95} = -76.9690195738$$
$$x_{96} = 4.7123887433$$
$$x_{97} = -54.9778709963$$
$$x_{98} = 39.2699077337$$
$$x_{99} = -14.1371668371$$
$$x_{100} = 54.9778718908$$
$$x_{101} = -39.2699076684$$
$$x_{1} = 26.7035380604$$
$$x_{2} = 39.2699085343$$
$$x_{3} = 20.4203521478$$
$$x_{4} = -86.3937982346$$
$$x_{5} = -29.8451300955$$
$$x_{6} = -58.1194639977$$
$$x_{7} = 32.9867233135$$
$$x_{8} = 76.9690204681$$
$$x_{9} = -51.8362786893$$
$$x_{10} = 48.6946866366$$
$$x_{11} = -48.6946857788$$
$$x_{12} = 45.5530937308$$
$$x_{13} = 45.5530929823$$
$$x_{14} = 83.2522048888$$
$$x_{15} = 23.5619451519$$
$$x_{16} = 51.8362789032$$
$$x_{17} = 17.2787599561$$
$$x_{18} = -64.4026497466$$
$$x_{19} = -83.2522048211$$
$$x_{20} = -76.9690203749$$
$$x_{21} = -26.7035372005$$
$$x_{22} = -70.6858343571$$
$$x_{23} = -86.3937977431$$
$$x_{24} = 10.9955739382$$
$$x_{25} = -17.2787590921$$
$$x_{26} = -80.1106125782$$
$$x_{27} = -39.2699084146$$
$$x_{28} = 29.8451303232$$
$$x_{29} = 80.1106131369$$
$$x_{30} = -95.8185758681$$
$$x_{31} = 92.6769837789$$
$$x_{32} = -10.9955738414$$
$$x_{33} = -26.7035379987$$
$$x_{34} = 14.13716711$$
$$x_{35} = 70.6858352127$$
$$x_{36} = 17.2787591562$$
$$x_{37} = -61.2610569934$$
$$x_{38} = -7.85398149665$$
$$x_{39} = 32.9867225165$$
$$x_{40} = 7.85398174307$$
$$x_{41} = 61.2610563112$$
$$x_{42} = -98.9601681513$$
$$x_{43} = -4.71238862219$$
$$x_{44} = -10.9955746401$$
$$x_{45} = 92.6769830592$$
$$x_{46} = -70.6858351534$$
$$x_{47} = 23.561944406$$
$$x_{48} = 54.9778710948$$
$$x_{49} = -32.9867224188$$
$$x_{50} = -61.2610562447$$
$$x_{51} = 98.9601690454$$
$$x_{52} = -48.6946865761$$
$$x_{53} = 86.393797887$$
$$x_{54} = -36.1283154173$$
$$x_{55} = 95.818576063$$
$$x_{56} = -17.2787598356$$
$$x_{57} = 89.5353901351$$
$$x_{58} = 67.5442423097$$
$$x_{59} = -42.4115005851$$
$$x_{60} = -32.9867232184$$
$$x_{61} = -20.4203520061$$
$$x_{62} = 10.9955747361$$
$$x_{63} = -98.9601689531$$
$$x_{64} = -23.5619450115$$
$$x_{65} = -64.4026491641$$
$$x_{66} = 73.8274274831$$
$$x_{67} = 70.6858344802$$
$$x_{68} = 89.5353908886$$
$$x_{69} = -4.71238942125$$
$$x_{70} = 36.1283156186$$
$$x_{71} = 1.5707965729$$
$$x_{72} = 48.6946859012$$
$$x_{73} = -92.6769829355$$
$$x_{74} = -83.2522055723$$
$$x_{75} = -89.5353907502$$
$$x_{76} = -92.6769837308$$
$$x_{77} = -1.57079643189$$
$$x_{78} = 26.7035373222$$
$$x_{79} = 58.119464398$$
$$x_{80} = 98.9601682516$$
$$x_{81} = 67.5442415587$$
$$x_{82} = 1.57079582972$$
$$x_{83} = -67.5442421707$$
$$x_{84} = -20.4203527083$$
$$x_{85} = -42.4115012353$$
$$x_{86} = 42.4115007275$$
$$x_{87} = 76.9690196732$$
$$x_{88} = 83.2522056908$$
$$x_{89} = -45.5530935911$$
$$x_{90} = 61.2610571126$$
$$x_{91} = 4.7123894842$$
$$x_{92} = -73.8274272798$$
$$x_{93} = -54.9778717967$$
$$x_{94} = 64.4026493072$$
$$x_{95} = -76.9690195738$$
$$x_{96} = 4.7123887433$$
$$x_{97} = -54.9778709963$$
$$x_{98} = 39.2699077337$$
$$x_{99} = -14.1371668371$$
$$x_{100} = 54.9778718908$$
$$x_{101} = -39.2699076684$$
Данные корни
$$x_{63} = -98.9601689531$$
$$x_{42} = -98.9601681513$$
$$x_{30} = -95.8185758681$$
$$x_{76} = -92.6769837308$$
$$x_{73} = -92.6769829355$$
$$x_{75} = -89.5353907502$$
$$x_{4} = -86.3937982346$$
$$x_{23} = -86.3937977431$$
$$x_{74} = -83.2522055723$$
$$x_{19} = -83.2522048211$$
$$x_{26} = -80.1106125782$$
$$x_{20} = -76.9690203749$$
$$x_{95} = -76.9690195738$$
$$x_{92} = -73.8274272798$$
$$x_{46} = -70.6858351534$$
$$x_{22} = -70.6858343571$$
$$x_{83} = -67.5442421707$$
$$x_{18} = -64.4026497466$$
$$x_{65} = -64.4026491641$$
$$x_{37} = -61.2610569934$$
$$x_{50} = -61.2610562447$$
$$x_{6} = -58.1194639977$$
$$x_{93} = -54.9778717967$$
$$x_{97} = -54.9778709963$$
$$x_{9} = -51.8362786893$$
$$x_{52} = -48.6946865761$$
$$x_{11} = -48.6946857788$$
$$x_{89} = -45.5530935911$$
$$x_{85} = -42.4115012353$$
$$x_{59} = -42.4115005851$$
$$x_{27} = -39.2699084146$$
$$x_{101} = -39.2699076684$$
$$x_{54} = -36.1283154173$$
$$x_{60} = -32.9867232184$$
$$x_{49} = -32.9867224188$$
$$x_{5} = -29.8451300955$$
$$x_{33} = -26.7035379987$$
$$x_{21} = -26.7035372005$$
$$x_{64} = -23.5619450115$$
$$x_{84} = -20.4203527083$$
$$x_{61} = -20.4203520061$$
$$x_{56} = -17.2787598356$$
$$x_{25} = -17.2787590921$$
$$x_{99} = -14.1371668371$$
$$x_{44} = -10.9955746401$$
$$x_{32} = -10.9955738414$$
$$x_{38} = -7.85398149665$$
$$x_{69} = -4.71238942125$$
$$x_{43} = -4.71238862219$$
$$x_{77} = -1.57079643189$$
$$x_{82} = 1.57079582972$$
$$x_{71} = 1.5707965729$$
$$x_{96} = 4.7123887433$$
$$x_{91} = 4.7123894842$$
$$x_{40} = 7.85398174307$$
$$x_{24} = 10.9955739382$$
$$x_{62} = 10.9955747361$$
$$x_{34} = 14.13716711$$
$$x_{36} = 17.2787591562$$
$$x_{17} = 17.2787599561$$
$$x_{3} = 20.4203521478$$
$$x_{47} = 23.561944406$$
$$x_{15} = 23.5619451519$$
$$x_{78} = 26.7035373222$$
$$x_{1} = 26.7035380604$$
$$x_{28} = 29.8451303232$$
$$x_{39} = 32.9867225165$$
$$x_{7} = 32.9867233135$$
$$x_{70} = 36.1283156186$$
$$x_{98} = 39.2699077337$$
$$x_{2} = 39.2699085343$$
$$x_{86} = 42.4115007275$$
$$x_{13} = 45.5530929823$$
$$x_{12} = 45.5530937308$$
$$x_{72} = 48.6946859012$$
$$x_{10} = 48.6946866366$$
$$x_{16} = 51.8362789032$$
$$x_{48} = 54.9778710948$$
$$x_{100} = 54.9778718908$$
$$x_{79} = 58.119464398$$
$$x_{41} = 61.2610563112$$
$$x_{90} = 61.2610571126$$
$$x_{94} = 64.4026493072$$
$$x_{81} = 67.5442415587$$
$$x_{58} = 67.5442423097$$
$$x_{67} = 70.6858344802$$
$$x_{35} = 70.6858352127$$
$$x_{66} = 73.8274274831$$
$$x_{87} = 76.9690196732$$
$$x_{8} = 76.9690204681$$
$$x_{29} = 80.1106131369$$
$$x_{14} = 83.2522048888$$
$$x_{88} = 83.2522056908$$
$$x_{53} = 86.393797887$$
$$x_{57} = 89.5353901351$$
$$x_{68} = 89.5353908886$$
$$x_{45} = 92.6769830592$$
$$x_{31} = 92.6769837789$$
$$x_{55} = 95.818576063$$
$$x_{80} = 98.9601682516$$
$$x_{51} = 98.9601690454$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{63}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{63} - \frac{1}{10}$$
=
$$-99.0601689531$$
=
$$-99.0601689531$$
подставляем в выражение
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < 1$$
$$\left|{\sin{\left (-99.0601689531 \right )}}\right| < 1$$

0.995004128836616 < 1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -98.9601689531$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x63      x42      x30      x76      x73      x75      x4      x23      x74      x19      x26      x20      x95      x92      x46      x22      x83      x18      x65      x37      x50      x6      x93      x97      x9      x52      x11      x89      x85      x59      x27      x101      x54      x60      x49      x5      x33      x21      x64      x84      x61      x56      x25      x99      x44      x32      x38      x69      x43      x77      x82      x71      x96      x91      x40      x24      x62      x34      x36      x17      x3      x47      x15      x78      x1      x28      x39      x7      x70      x98      x2      x86      x13      x12      x72      x10      x16      x48      x100      x79      x41      x90      x94      x81      x58      x67      x35      x66      x87      x8      x29      x14      x88      x53      x57      x68      x45      x31      x55      x80      x51

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -98.9601689531$$
$$x > -98.9601681513 \wedge x < -95.8185758681$$
$$x > -92.6769837308 \wedge x < -92.6769829355$$
$$x > -89.5353907502 \wedge x < -86.3937982346$$
$$x > -86.3937977431 \wedge x < -83.2522055723$$
$$x > -83.2522048211 \wedge x < -80.1106125782$$
$$x > -76.9690203749 \wedge x < -76.9690195738$$
$$x > -73.8274272798 \wedge x < -70.6858351534$$
$$x > -70.6858343571 \wedge x < -67.5442421707$$
$$x > -64.4026497466 \wedge x < -64.4026491641$$
$$x > -61.2610569934 \wedge x < -61.2610562447$$
$$x > -58.1194639977 \wedge x < -54.9778717967$$
$$x > -54.9778709963 \wedge x < -51.8362786893$$
$$x > -48.6946865761 \wedge x < -48.6946857788$$
$$x > -45.5530935911 \wedge x < -42.4115012353$$
$$x > -42.4115005851 \wedge x < -39.2699084146$$
$$x > -39.2699076684 \wedge x < -36.1283154173$$
$$x > -32.9867232184 \wedge x < -32.9867224188$$
$$x > -29.8451300955 \wedge x < -26.7035379987$$
$$x > -26.7035372005 \wedge x < -23.5619450115$$
$$x > -20.4203527083 \wedge x < -20.4203520061$$
$$x > -17.2787598356 \wedge x < -17.2787590921$$
$$x > -14.1371668371 \wedge x < -10.9955746401$$
$$x > -10.9955738414 \wedge x < -7.85398149665$$
$$x > -4.71238942125 \wedge x < -4.71238862219$$
$$x > -1.57079643189 \wedge x < 1.57079582972$$
$$x > 1.5707965729 \wedge x < 4.7123887433$$
$$x > 4.7123894842 \wedge x < 7.85398174307$$
$$x > 10.9955739382 \wedge x < 10.9955747361$$
$$x > 14.13716711 \wedge x < 17.2787591562$$
$$x > 17.2787599561 \wedge x < 20.4203521478$$
$$x > 23.561944406 \wedge x < 23.5619451519$$
$$x > 26.7035373222 \wedge x < 26.7035380604$$
$$x > 29.8451303232 \wedge x < 32.9867225165$$
$$x > 32.9867233135 \wedge x < 36.1283156186$$
$$x > 39.2699077337 \wedge x < 39.2699085343$$
$$x > 42.4115007275 \wedge x < 45.5530929823$$
$$x > 45.5530937308 \wedge x < 48.6946859012$$
$$x > 48.6946866366 \wedge x < 51.8362789032$$
$$x > 54.9778710948 \wedge x < 54.9778718908$$
$$x > 58.119464398 \wedge x < 61.2610563112$$
$$x > 61.2610571126 \wedge x < 64.4026493072$$
$$x > 67.5442415587 \wedge x < 67.5442423097$$
$$x > 70.6858344802 \wedge x < 70.6858352127$$
$$x > 73.8274274831 \wedge x < 76.9690196732$$
$$x > 76.9690204681 \wedge x < 80.1106131369$$
$$x > 83.2522048888 \wedge x < 83.2522056908$$
$$x > 86.393797887 \wedge x < 89.5353901351$$
$$x > 89.5353908886 \wedge x < 92.6769830592$$
$$x > 92.6769837789 \wedge x < 95.818576063$$
$$x > 98.9601682516 \wedge x < 98.9601690454$$

Быстрый ответ

  /   /             -pi \     /-pi           pi\     /pi          3*pi\     /3*pi            \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < --|, And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              2  /     \ 2            2 /     \2            2  /     \ 2              //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(- \frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi      -pi   pi     pi  3*pi     3*pi     
(-oo, ----) U (----, --) U (--, ----) U (----, oo)
       2        2    2      2    2        2       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$