Abs(sin(x))<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: Abs(sin(x))<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|sin(x)| < 1/2

$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{2} = -3.66519142919$$
$$x_{3} = -100.007366139$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{5} = 100.007366139$$
$$x_{6} = -43.4586983747$$
$$x_{7} = -78.0162175641$$
$$x_{8} = 88.4881930761$$
$$x_{9} = -62.3082542962$$
$$x_{10} = 2.61799387799$$
$$x_{11} = 71.733032257$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{13} = 46.6002910282$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{15} = -137.706477982$$
$$x_{16} = -24.6091424531$$
$$x_{17} = 82.2050077689$$
$$x_{18} = -93.7241808321$$
$$x_{19} = -40.3171057211$$
$$x_{20} = 9.94837673637$$
$$x_{21} = 62.3082542962$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{23} = -21.4675497995$$
$$x_{24} = -60.2138591938$$
$$x_{25} = -2.61799387799$$
$$x_{26} = 90.5825881785$$
$$x_{27} = 49.7418836818$$
$$x_{28} = -38.2227106187$$
$$x_{29} = 44.5058959259$$
$$x_{30} = -90.5825881785$$
$$x_{31} = 40.3171057211$$
$$x_{32} = -46.6002910282$$
$$x_{33} = -71.733032257$$
$$x_{34} = 47.6474885794$$
$$x_{35} = -63.3554518474$$
$$x_{36} = 56.025068989$$
$$x_{37} = 34.0339204139$$
$$x_{38} = -87.4409955249$$
$$x_{39} = -53.9306738866$$
$$x_{40} = -27.7507351067$$
$$x_{41} = 68.5914396034$$
$$x_{42} = 93.7241808321$$
$$x_{43} = -85.3466004225$$
$$x_{44} = -68.5914396034$$
$$x_{45} = -382.750704962$$
$$x_{46} = -12.0427718388$$
$$x_{47} = -65.4498469498$$
$$x_{48} = 60.2138591938$$
$$x_{49} = -41.3643032723$$
$$x_{50} = -25.6563400043$$
$$x_{51} = 31.9395253115$$
$$x_{52} = -56.025068989$$
$$x_{53} = -18.3259571459$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{55} = 22.5147473507$$
$$x_{56} = 75.9218224618$$
$$x_{57} = -82.2050077689$$
$$x_{58} = -84.2994028713$$
$$x_{59} = -16.2315620435$$
$$x_{60} = -49.7418836818$$
$$x_{61} = 25.6563400043$$
$$x_{62} = 18.3259571459$$
$$x_{63} = -9.94837673637$$
$$x_{64} = -57.0722665402$$
$$x_{65} = -34.0339204139$$
$$x_{66} = -97.9129710369$$
$$x_{67} = 53.9306738866$$
$$x_{68} = 66.497044501$$
$$x_{69} = 5.75958653158$$
$$x_{70} = 0.523598775598$$
$$x_{71} = 3.66519142919$$
$$x_{72} = 24.6091424531$$
$$x_{73} = 78.0162175641$$
$$x_{74} = 97.9129710369$$
$$x_{75} = 27.7507351067$$
$$x_{76} = 12.0427718388$$
$$x_{77} = -47.6474885794$$
$$x_{78} = -19.3731546971$$
$$x_{79} = 96.8657734857$$
$$x_{80} = 91.6297857297$$
$$x_{81} = -31.9395253115$$
$$x_{82} = -91.6297857297$$
$$x_{83} = 16.2315620435$$
$$x_{84} = -75.9218224618$$
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{2} = -3.66519142919$$
$$x_{3} = -100.007366139$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{5} = 100.007366139$$
$$x_{6} = -43.4586983747$$
$$x_{7} = -78.0162175641$$
$$x_{8} = 88.4881930761$$
$$x_{9} = -62.3082542962$$
$$x_{10} = 2.61799387799$$
$$x_{11} = 71.733032257$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{13} = 46.6002910282$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{15} = -137.706477982$$
$$x_{16} = -24.6091424531$$
$$x_{17} = 82.2050077689$$
$$x_{18} = -93.7241808321$$
$$x_{19} = -40.3171057211$$
$$x_{20} = 9.94837673637$$
$$x_{21} = 62.3082542962$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{23} = -21.4675497995$$
$$x_{24} = -60.2138591938$$
$$x_{25} = -2.61799387799$$
$$x_{26} = 90.5825881785$$
$$x_{27} = 49.7418836818$$
$$x_{28} = -38.2227106187$$
$$x_{29} = 44.5058959259$$
$$x_{30} = -90.5825881785$$
$$x_{31} = 40.3171057211$$
$$x_{32} = -46.6002910282$$
$$x_{33} = -71.733032257$$
$$x_{34} = 47.6474885794$$
$$x_{35} = -63.3554518474$$
$$x_{36} = 56.025068989$$
$$x_{37} = 34.0339204139$$
$$x_{38} = -87.4409955249$$
$$x_{39} = -53.9306738866$$
$$x_{40} = -27.7507351067$$
$$x_{41} = 68.5914396034$$
$$x_{42} = 93.7241808321$$
$$x_{43} = -85.3466004225$$
$$x_{44} = -68.5914396034$$
$$x_{45} = -382.750704962$$
$$x_{46} = -12.0427718388$$
$$x_{47} = -65.4498469498$$
$$x_{48} = 60.2138591938$$
$$x_{49} = -41.3643032723$$
$$x_{50} = -25.6563400043$$
$$x_{51} = 31.9395253115$$
$$x_{52} = -56.025068989$$
$$x_{53} = -18.3259571459$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{55} = 22.5147473507$$
$$x_{56} = 75.9218224618$$
$$x_{57} = -82.2050077689$$
$$x_{58} = -84.2994028713$$
$$x_{59} = -16.2315620435$$
$$x_{60} = -49.7418836818$$
$$x_{61} = 25.6563400043$$
$$x_{62} = 18.3259571459$$
$$x_{63} = -9.94837673637$$
$$x_{64} = -57.0722665402$$
$$x_{65} = -34.0339204139$$
$$x_{66} = -97.9129710369$$
$$x_{67} = 53.9306738866$$
$$x_{68} = 66.497044501$$
$$x_{69} = 5.75958653158$$
$$x_{70} = 0.523598775598$$
$$x_{71} = 3.66519142919$$
$$x_{72} = 24.6091424531$$
$$x_{73} = 78.0162175641$$
$$x_{74} = 97.9129710369$$
$$x_{75} = 27.7507351067$$
$$x_{76} = 12.0427718388$$
$$x_{77} = -47.6474885794$$
$$x_{78} = -19.3731546971$$
$$x_{79} = 96.8657734857$$
$$x_{80} = 91.6297857297$$
$$x_{81} = -31.9395253115$$
$$x_{82} = -91.6297857297$$
$$x_{83} = 16.2315620435$$
$$x_{84} = -75.9218224618$$
Данные корни
$$x_{45} = -382.750704962$$
$$x_{15} = -137.706477982$$
$$x_{3} = -100.007366139$$
$$x_{66} = -97.9129710369$$
$$x_{18} = -93.7241808321$$
$$x_{82} = -91.6297857297$$
$$x_{30} = -90.5825881785$$
$$x_{38} = -87.4409955249$$
$$x_{43} = -85.3466004225$$
$$x_{58} = -84.2994028713$$
$$x_{57} = -82.2050077689$$
$$x_{7} = -78.0162175641$$
$$x_{84} = -75.9218224618$$
$$x_{33} = -71.733032257$$
$$x_{1} = -69.6386371546$$
$$x_{44} = -68.5914396034$$
$$x_{4} = -66.497044501$$
$$x_{47} = -65.4498469498$$
$$x_{35} = -63.3554518474$$
$$x_{9} = -62.3082542962$$
$$x_{24} = -60.2138591938$$
$$x_{64} = -57.0722665402$$
$$x_{52} = -56.025068989$$
$$x_{39} = -53.9306738866$$
$$x_{60} = -49.7418836818$$
$$x_{77} = -47.6474885794$$
$$x_{32} = -46.6002910282$$
$$x_{6} = -43.4586983747$$
$$x_{49} = -41.3643032723$$
$$x_{19} = -40.3171057211$$
$$x_{28} = -38.2227106187$$
$$x_{65} = -34.0339204139$$
$$x_{81} = -31.9395253115$$
$$x_{40} = -27.7507351067$$
$$x_{50} = -25.6563400043$$
$$x_{16} = -24.6091424531$$
$$x_{23} = -21.4675497995$$
$$x_{78} = -19.3731546971$$
$$x_{53} = -18.3259571459$$
$$x_{59} = -16.2315620435$$
$$x_{46} = -12.0427718388$$
$$x_{63} = -9.94837673637$$
$$x_{54} = -5.75958653158$$
$$x_{2} = -3.66519142919$$
$$x_{25} = -2.61799387799$$
$$x_{70} = 0.523598775598$$
$$x_{10} = 2.61799387799$$
$$x_{71} = 3.66519142919$$
$$x_{69} = 5.75958653158$$
$$x_{20} = 9.94837673637$$
$$x_{76} = 12.0427718388$$
$$x_{83} = 16.2315620435$$
$$x_{62} = 18.3259571459$$
$$x_{55} = 22.5147473507$$
$$x_{72} = 24.6091424531$$
$$x_{61} = 25.6563400043$$
$$x_{75} = 27.7507351067$$
$$x_{51} = 31.9395253115$$
$$x_{37} = 34.0339204139$$
$$x_{22} = 38.2227106187$$
$$x_{31} = 40.3171057211$$
$$x_{29} = 44.5058959259$$
$$x_{13} = 46.6002910282$$
$$x_{34} = 47.6474885794$$
$$x_{27} = 49.7418836818$$
$$x_{67} = 53.9306738866$$
$$x_{36} = 56.025068989$$
$$x_{48} = 60.2138591938$$
$$x_{21} = 62.3082542962$$
$$x_{68} = 66.497044501$$
$$x_{41} = 68.5914396034$$
$$x_{14} = 69.6386371546$$
$$x_{11} = 71.733032257$$
$$x_{56} = 75.9218224618$$
$$x_{73} = 78.0162175641$$
$$x_{17} = 82.2050077689$$
$$x_{12} = 84.2994028713$$
$$x_{8} = 88.4881930761$$
$$x_{26} = 90.5825881785$$
$$x_{80} = 91.6297857297$$
$$x_{42} = 93.7241808321$$
$$x_{79} = 96.8657734857$$
$$x_{74} = 97.9129710369$$
$$x_{5} = 100.007366139$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{45}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{45} - \frac{1}{10}$$
=
$$-382.850704962$$
=
$$-382.850704962$$
подставляем в выражение
$$\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$
$$\left|{\sin{\left (-382.850704962 \right )}}\right| < \frac{1}{2}$$

0.411043808001225 < 1/2

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -382.750704962$$

 _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____          
      \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x45      x15      x3      x66      x18      x82      x30      x38      x43      x58      x57      x7      x84      x33      x1      x44      x4      x47      x35      x9      x24      x64      x52      x39      x60      x77      x32      x6      x49      x19      x28      x65      x81      x40      x50      x16      x23      x78      x53      x59      x46      x63      x54      x2      x25      x70      x10      x71      x69      x20      x76      x83      x62      x55      x72      x61      x75      x51      x37      x22      x31      x29      x13      x34      x27      x67      x36      x48      x21      x68      x41      x14      x11      x56      x73      x17      x12      x8      x26      x80      x42      x79      x74      x5

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -382.750704962$$
$$x > -137.706477982 \wedge x < -100.007366139$$
$$x > -97.9129710369 \wedge x < -93.7241808321$$
$$x > -91.6297857297 \wedge x < -90.5825881785$$
$$x > -87.4409955249 \wedge x < -85.3466004225$$
$$x > -84.2994028713 \wedge x < -82.2050077689$$
$$x > -78.0162175641 \wedge x < -75.9218224618$$
$$x > -71.733032257 \wedge x < -69.6386371546$$
$$x > -68.5914396034 \wedge x < -66.497044501$$
$$x > -65.4498469498 \wedge x < -63.3554518474$$
$$x > -62.3082542962 \wedge x < -60.2138591938$$
$$x > -57.0722665402 \wedge x < -56.025068989$$
$$x > -53.9306738866 \wedge x < -49.7418836818$$
$$x > -47.6474885794 \wedge x < -46.6002910282$$
$$x > -43.4586983747 \wedge x < -41.3643032723$$
$$x > -40.3171057211 \wedge x < -38.2227106187$$
$$x > -34.0339204139 \wedge x < -31.9395253115$$
$$x > -27.7507351067 \wedge x < -25.6563400043$$
$$x > -24.6091424531 \wedge x < -21.4675497995$$
$$x > -19.3731546971 \wedge x < -18.3259571459$$
$$x > -16.2315620435 \wedge x < -12.0427718388$$
$$x > -9.94837673637 \wedge x < -5.75958653158$$
$$x > -3.66519142919 \wedge x < -2.61799387799$$
$$x > 0.523598775598 \wedge x < 2.61799387799$$
$$x > 3.66519142919 \wedge x < 5.75958653158$$
$$x > 9.94837673637 \wedge x < 12.0427718388$$
$$x > 16.2315620435 \wedge x < 18.3259571459$$
$$x > 22.5147473507 \wedge x < 24.6091424531$$
$$x > 25.6563400043 \wedge x < 27.7507351067$$
$$x > 31.9395253115 \wedge x < 34.0339204139$$
$$x > 38.2227106187 \wedge x < 40.3171057211$$
$$x > 44.5058959259 \wedge x < 46.6002910282$$
$$x > 47.6474885794 \wedge x < 49.7418836818$$
$$x > 53.9306738866 \wedge x < 56.025068989$$
$$x > 60.2138591938 \wedge x < 62.3082542962$$
$$x > 66.497044501 \wedge x < 68.5914396034$$
$$x > 69.6386371546 \wedge x < 71.733032257$$
$$x > 75.9218224618 \wedge x < 78.0162175641$$
$$x > 82.2050077689 \wedge x < 84.2994028713$$
$$x > 88.4881930761 \wedge x < 90.5825881785$$
$$x > 91.6297857297 \wedge x < 93.7241808321$$
$$x > 96.8657734857 \wedge x < 97.9129710369$$
$$x > 100.007366139$$

Быстрый ответ

  /   /-pi           pi\     /5*pi          7*pi\\
Or|And|---- < x, x < --|, And|---- < x, x < ----||
  \   \ 6            6 /     \ 6             6  //

$$\left(- \frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}\right)$$

Быстрый ответ 2

 -pi   pi     5*pi  7*pi 
(----, --) U (----, ----)
  6    6       6     6   

$$x \in \left(- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right)$$