atan(1/x)>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: atan(1/x)>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    /1\    
atan|-| > 1
    \x/    

$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 1$$
преобразуем
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1 = 0$$
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1
делаем обратную замену
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$
подставляем в выражение
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \right )} > 1$$
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}} \right )} > 1$$

    /      1      \    
atan|-------------|    
    |  1      1   | > 1
    |- -- + ------|    
    \  10   tan(1)/    

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /             1   \
And|0 < x, x < ------|
   \           tan(1)/

$$0 < x \wedge x < \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}$$

Быстрый ответ 2

      1    
(0, ------)
    tan(1) 

$$x \in \left(0, \frac{1}{\tan{\left (1 \right )}}\right)$$

График