atan(x)<2/5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: atan(x)<2/5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

atan(x) < 2/5

$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} < \frac{2}{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} < \frac{2}{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} = \frac{2}{5}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} = \frac{2}{5}$$
преобразуем
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{2}{5} = 0$$
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{2}{5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{2}{5}$$
Получим ответ: w = 2/5
делаем обратную замену
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$
$$x_{1} = \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )} < \frac{2}{5}$$
$$\operatorname{atan}{\left (- \frac{1}{10} + \tan{\left (\frac{2}{5} \right )} \right )} < \frac{2}{5}$$

-atan(1/10 - tan(2/5)) < 2/5

значит решение неравенства будет при:
$$x < \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(-oo < x, x < tan(2/5))

$$-\infty < x \wedge x < \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}$$

Быстрый ответ 2

(-oo, tan(2/5))

$$x \in \left(-\infty, \tan{\left (\frac{2}{5} \right )}\right)$$