4^(-x+7)>16 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^(-x+7)>16 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x + 7     
4       > 16

$$4^{7 - x} > 16$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4^{7 - x} > 16$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{7 - x} = 16$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{7 - x} = 16$$
или
$$4^{7 - x} - 16 = 0$$
или
$$16384 \cdot 4^{- x} = 16$$
или
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = \frac{1}{1024}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{1024} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{1024} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{1024}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{1024}$$
$$x_{1} = \frac{1}{1024}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{1024}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{1024}$$
=
$$- \frac{507}{5120}$$
подставляем в выражение
$$4^{7 - x} > 16$$
$$4^{7 - - \frac{507}{5120}} > 16$$

       507      
       ----     
       2560 > 16
16384*2         
     

значит решение неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{1024}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

x < 5

$$x < 5$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 5)

$$x\ in\ \left(-\infty, 5\right)$$

График