4^x<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      
4  < 1/2

$$4^{x} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4^{x} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} = \frac{1}{2}$$
или
$$4^{x} - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$4^{x} = \frac{1}{2}$$
или
$$4^{x} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{2} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} < \frac{1}{2}$$
$$4^{\frac{2}{5}} < \frac{1}{2}$$

 4/5      
2    < 1/2
      

но

 4/5      
2    > 1/2
      

Тогда
$$x < \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

    -log(2) 
x < --------
     log(4) 

$$x < - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      -log(2)  
(-oo, --------)
       log(4)  

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}\right)$$

График