4^x-5<3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x-5<3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x        
4  - 5 < 3

$$4^{x} - 5 < 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$4^{x} - 5 < 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} - 5 = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} - 5 = 3$$
или
$$\left(4^{x} - 5\right) - 3 = 0$$
или
$$4^{x} = 8$$
или
$$4^{x} = 8$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - 8 = 0$$
или
$$v - 8 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 8$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{1} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 8$$
=
$$\frac{79}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} - 5 < 3$$
$$\left(-1\right) 5 + 4^{\frac{79}{10}} < 3$$

            4/5    
-5 + 32768*2    < 3
    

но

            4/5    
-5 + 32768*2    > 3
    

Тогда
$$x < 8$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 8$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

        log(2)
x < 1 + ------
        log(4)

$$x < \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 1$$

Быстрый ответ 2

          log(2) 
(-oo, 1 + ------)
          log(4) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} + 1\right)$$

График