4^x-600*2^x+50000>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x-600*2^x+50000>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x        x             
4  - 600*2  + 50000 >= 0

$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 = 0$$
или
$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 600 v + 50000 = 0$$
или
$$v^{2} - 600 v + 50000 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -600$$
$$c = 50000$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-600)^2 - 4 * (1) * (50000) = 160000

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 500$$
$$v_{2} = 100$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 100$$
$$x_{2} = 500$$
$$x_{1} = 100$$
$$x_{2} = 500$$
Данные корни
$$x_{1} = 100$$
$$x_{2} = 500$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{999}{10}$$
=
$$\frac{999}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 600 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 50000 \geq 0$$

 999        999             
 ---        ---             
  10         10             
4    - 600*2    + 50000 >= 0

                                           9/10                                                                 4/5     
50000 - 380295180068468820449010961612800*2     + 803469022129495137770981046170581301261101496891396417650688*2    >= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 100$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 100$$
$$x \geq 500$$

Быстрый ответ

  /   /     2*log(10)         \     /log(500)             \\
Or|And|x <= ---------, -oo < x|, And|-------- <= x, x < oo||
  \   \       log(2)          /     \ log(2)              //

$$\left(x \leq \frac{2 \log{\left (10 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{\log{\left (500 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      2*log(10)     log(500)     
(-oo, ---------] U [--------, oo)
        log(2)       log(2)      

$$x \in \left(-\infty, \frac{2 \log{\left (10 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right] \cup \left[\frac{\log{\left (500 \right )}}{\log{\left (2 \right )}}, \infty\right)$$