2*cos(2*x)^2>=3/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(2*x)^2>=3/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2            
2*cos (2*x) >= 3/2

$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} \geq \frac{3}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} \geq \frac{3}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{3}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{3}{2}$$
преобразуем
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{3}{2} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{3}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{3}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (2) * (-3/2) = 12

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{11 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{11 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{11 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos^{2}{\left(2 x \right)} \geq \frac{3}{2}$$
$$2 \cos^{2}{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \geq \frac{3}{2}$$

     2/1   pi\       
2*sin |- + --| >= 3/2
      \5   3 /       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \frac{\pi}{12}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{12} \wedge x \leq \frac{7 \pi}{12}$$
$$x \geq \frac{11 \pi}{12}$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /5*pi            7*pi\     /11*pi             \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= ----|, And|----- <= x, x < pi||
  \   \             12/     \ 12              12 /     \  12              //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{12}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{12} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{12}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{12} \leq x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi  7*pi     11*pi     
[0, --] U [----, ----] U [-----, pi)
    12      12    12        12      

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right] \cup \left[\frac{11 \pi}{12}, \pi\right)$$

График